Syllabus di matematica

Algebra
Proprietà elementari dei numeri interi. Algoritmo di divisione. euclideo. Numeri primi. Esistenza e unicità della scomposizione in primi. Coefficienti binomiali. Congruenze e loro proprietà. Classi di congruenza. Funzione φ di Eulero. Teorema di Eulero.
Il campo complesso. Rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi. Radici di un numero complesso.
Gruppi e loro proprietà. Sottogruppi normali. Quozienti.Teorema di Lagrange. Il gruppo simmetrico. Azioni di gruppo, e applicazioni alla struttura dei gruppi finiti.Teoremi di Sylow.
Anelli e ideali. Domini e campi. Domini euclidei. Dominia ideali principali. Domini a fattorizzazione unica. Lemma di Gauss.
Polinomi a coefficienti in un campo, e loro aritmetica. Radici. Polinomi irriducibili. Polinomi reali irriducibili. Criteriodi Eisenste in per l’irriducibilità di polinomi razionali.
Estensioni di campi. Estensioni finite, grado di un’estensione. Campi di spezzamento. Struttura dei campi finiti. Gruppi di automorfismi di estensioni finite. Estensioni di Galois. Corrispondenza di Galois.

Geometria
Esempi elementari di curve e superfici nel piano e nello spazio. Coniche piane.
Calcolo matriciale. Sistemi di equazioni lineari. Eliminazione gaussiana. Determinante. Rango.
Spazi vettoriali. Dimensione. Matrici e trasformazioni lineari. Nucleo e immagine di una trasformazione lineare. Sottospazi. Somme e somme dirette. Autovettori e autovalori. Autospazi. Polinomi caratteristici.Traccia. Forma canonica di Jordan.Teorema di Jordan.Teorema di Cayley–Hamilton.
Forme bilineari e forme hermitiane. Forme quadratiche, e loro diagonalizzazione. Forme definite e semi-definite.
Prodotti internireali e hermitiani. Disuguaglianza di Schwarz. Basi ortogonali e ortonormali. Procedimentodi Gram–Schmidt. Complemento ortogonale di un sottospazio.
Matrici ortogonali e unitarie. Matrici simmetriche e hermitiane. Isometrie tra spazi euclidei.Teorema spettrale.
Spazi proiettivi. Sottospazi lineari. Riferimenti proiettivi.Proiettività.Teorema fondamentale della geometria proiettiva.
Classificazione delle quadriche reali e complesse, in ambito affine e proiettivo.
Spazi metrici. Spazi topologici. Applicazioni continue.
Spazi di Hausdorff. Spazi connessi; connessione dell’immagine di uno spazio connesso. Spazi compatti; compattezza dell’immagine di uno spazio compatto. Spazi localmente connessi. Spazi localmente compatti. Spazi connessi per archi. Spazi localmente connessi per archi.
Spazi prodotto. Prodotto di spazi connessi e di spazi compatti.
Spazi quoziente.Topologia degli spazi proiettivi reale e complesso.
Gruppo fondamentale. Rivestimenti. Connessione tra rivestimenti e gruppo fondamentale.
Curve parametrizzate nello spazio. Lunghezza. Formule di Frenet.
Superfici parametrizzate nello spazio. Orientazione. Applicazionedi Gauss. Forme fondamentali. Curvatura. Theorema Egregium. Geodetiche.

Analisi
Costruzione e assiomatizzazione dei numeri reali e complessi, assiomi di Dedekind, estremo inferiore e superiore.
Successioni, limiti, operazioni con i limiti, criteriodi Cauchy. Serie numerichee criteri di convergenza. Serie di potenze, raggiodi convergenza.Teorema di Bolzano-Weierstrass.
Funzioni, grafici, funzione composta e funzione inversa. Continuità, discontinuità, funzioni monotone. Immagine mediante funzioni continue di intervalli. Uniforme continuità. Funzioni continue invertibili.
Derivata e sueproprietà. Derivata delle funzioni elementari. Differenziale e derivate successive. Massimi e minimi relativi, teorema del valor medio, formule di Taylor e sviluppi in serie delle funzioni elementari. Funzioni convesse e concave.
Integrale di Riemann e integrabilità delle funzioni continue e monotone. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi per il calcolo della primitiva: integrazione per parti, integrazione per sostituzione, integrazione delle funzioni elementarie razionali. Integrali generalizzatie criteri di convergenza.
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Spazi metrici. Completezza e completamento, principio delle contrazioni. Compattezza in spazi metrici, insiemi totalmente limitati.
Successioni e serie di funzioni. Completezza degli spazi C^k. Serie trigonometriche di Fourier.
Calcolo differenziale in più variabili. Derivate parziali e differenziale, derivazione della funzione composta, formule di Taylor.Teoremi delle funzioni implicite e di invertibilità locale, metodo dei moltiplicatoridi Lagrange.
Formule di Gauss–Green e di Stokes. Nozioni di base sulle forme differenziali.
Equazioni differenziali ordinarie e sistemi. Metodi risolutivi per equazioni e sistemi lineari, esponenzialedi una matrice.Teoremadi Cauchy-Lipschitzdi esistenzae unicità locale, soluzione massimale e criteri di esistenza globale.
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Serie di potenze nel campo complesso. Raggio di convergenza. Convergenza uniforme. Funzioni analitiche.
Derivata complessa. Equazioni di Cauchy–Riemann. Funzioni olomorfe.
Logaritmo complesso, e sue determinazioni.
Integrale di una forma differenziale lungo un cammino in C. Formula di Cauchy.
Principio del massimo modulo.Teorema dell’applicazione aperta.
Singolarità di funzioni olomorfe. Singolarità rimuovibili. Teoremadi Riemann. Sviluppi in serie di Laurent. Poli e singolarità essenziali. Funzioni meromorfe. Residui. L’indice di un punto rispetto ad un cammino. Teorema dei residui.
Derivata logaritmica.Teoremadi Rouchè e applicazioni.
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Misura di Lebesgue, spazi L^p, completezza e relazioni di dualità. Convergenza in norma e quasi ovunque, teoremi di passaggioal limite dentroil segno di integrale.
Spazi muniti di prodotto scalare e spazi di Hilbert. Proiezione sui convessi chiusi e teorema di Riesz. Sistemi ortonormali, disuguaglianza di Bessel. Basi ortonormali, identità di Parseval.
Spazi normati e spazi di Banach, teorema di Hahn-Banach. Topologie deboli e deboli^*, riflessività.

Probabilità
Nozioni di base di teoria della misura e dell’integrazione in spazi di misura.
Variabili aleatorie, speranza, varianza. Leggi notevoli di Probabilità. La nozione di indipendenza e le leggi di dicotomia di Kolmogorov.
Convergenza di variabili aleatorie (in legge, in probabilità, quasi certa). Funzioni caratteristiche, Legge dei grandi numerieteorema del limite centrale.

Syllabus di Fisica

Meccanica classica
1) equazioni di Lagrange;
2) variabili canoniche, parentesi di Poisson, equazioni di Hamilton;
3) oscillazioni;
4) corpo rigido;
5) principi variazionali ed equazioni di Lagrange per la meccanica dei continui;
6) gravità newtoniana;
7) relatività ristretta.

testi consigliati: Goldstein, Meccanica classica
Landau e Lifshitz, Meccanica Landau e Lifshitz, Teoria dei campi.

Elettromagnetismo
1) elettrostatica;
2) magnetostatica;
3) proprietà elettromagnetiche della materia;
4) equazioni di Maxwell;
5) onde elettromagnetiche;
6) irraggiamento;
7) diffusione delle onde elettromagnetiche;
8) diffrazione e interferenza.

testi consigliati: Jackson, Classical Electrodynamics
Landau e Lifshitz, Teoria dei campi.

Termodinamica
1) primo principio;
2) secondo principio;
3) entropia;
4) potenziali termodinamici e relazioni di Maxwell.

Testi consigliati: Fermi, Termodinamica
Huang, Statistical Mechanics

Fisica statistica
1) teoria cinetica: l'equazione di Boltzmann;
2) la distribuzione di Maxwell-Boltzmann;
3) insiemi microcanonico, canonico, gran canonico;
4) funzione di partizione;
5) statistiche quantistiche;
4) corpo nero;
6) gas ideali di Fermi e di Bose.

testi consigliati: Huang, Statistical Mechanics
Landau e Lifshitz, Fisica statistica.

Meccanica quantistica
1) crisi della fisica classica;
2) dualismo onda/particella e principio di indeterminazione;
3) equazione di Schroedinger;
4) operatori e rappresentazioni (o formalismo matematico);
5) particella quantistica in campo di potenziale;
6) momento angolare;
7) atomo di idrogeno;
8) teoria delle perturbazioni e transizioni;
9) spin;
10) sistemi di particelle identiche;
11) urti;
12) emissione ed assorbimento di radiazione da atomi;
13) approssimazione semiclassica

testi consigliati: Cohen-Tannoudji, Diu, Laloe, Quantum mechanics;
J.J. Sakurai, Advanced Quantum mechanics;
Landau e Lifshitz, Meccanica quantistica.