Lecture
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19 Mar 2024 (2h 00m)
Michele Benzi - Course (teaching activity) - Both face to face and online
Introduzione al corso. Motivazione ed esempi. Primi risultati di esistenza e unicita` per problemi di punto sella nel caso "base".
26 Mar 2024 (2h 00m)
Michele Benzi - Course (teaching activity) - Face to face
Ancora sulla risolubilita` di problemi ti tipo SP. Il caso in cui il blocco (1,1) e` singolare. Fattorizzazioni a blocchi LU e UL. Esempi: problemi di ninimi quadrati, anche pesati e con vincoli di uguaglianza; problemi ellittici del II ordine in forma mista. Matrici nonsimmetriche ma con parte simmetrica definita positiva. Le equazioni di Navier-Stokes incomprimibili (caso stazionario) e il problema di Oseen. Discretizzazione delle equazioni di Maxwell nel caso "time-harmonic" come esempio di problema SP in cui il blocco (1,1) ha nullita` massimale.
28 Mar 2024 (2h 00m)
Michele Benzi - Course (teaching activity) - Both face to face and online
L'inversa di una matrice SP (formule esplicite). Il caso in cui il blocco (1,1) e` massimalmente singolare. Matrici quasidefinite positive, fattorizzazione Cholesky-like. Proprieta` spettrali. Limitazioni sullo spettro di matrici SP, casi particolari (discretizzazioni di PDE). Matrici SP in forma nonsimmetrica: condizioni per la diagonalizzablita` con spettro reale (G-simmetria con G SPD). Matrici pseudosimmetriche.
09 Apr 2024 (2h 00m)
Michele Benzi - Course (teaching activity) - Face to face
Introduzione ai metodi di risoluzione di sistemi in forma SP. Metodi diretti a blocchi. Complemento di Schur. Il metodo dello spazio nullo. Determinazione di una base del kernel della matrice di incidenza di un grafo col metodo dei cicli chiusi di Kirchhoff.
11 Apr 2024 (2h 00m)
Michele Benzi - Course (teaching activity) - Both face to face and online
Richiami sui metodi iterativi stazionari. Il metodo di Uzawa per i sistemi di tipo SP. Analisi della convergenza. Il metodo di Arrow-Hurwicz. Lagrangiana aumentata e metodo dei moltiplicatori.
16 Apr 2024 (2h 00m)
Michele Benzi - Course (teaching activity) - Face to face
Analisi della convergenza del metodo dei moltiplicatori. Condizionamento del sistema. Il metodo HSS (Hermitian/skew-Hermitian splitting). Introduzione ai metodi di Krylov.
18 Apr 2024 (2h 00m)
Michele Benzi - Course (teaching activity) - Face to face
Metodi di Krylov per sistemi lineari: ottimalita` delle approssimazioni per metodi di tipo Galerkin e Petrov-Galerkin (es: CG e MinRes). Analisi della convergenza nel caso di matrici Hermitiane e nel caso di matrici diagonalizzabili. Teorema di Greenbaum-Ptak-Strakos. Il bound di Elman per matrici con parte Hermitiana definita positiva.
23 Apr 2024 (2h 00m)
Michele Benzi - Course (teaching activity) - Face to face
Il metodo GMRES. Relazioni di Arnoldi ed espressione del residuo. Restarting. GMRES precondizionato. Flexible GMRES. Precondizionatori ideali (diagonali e triangolari a blocchi) per sistemi di tipo SP. Equivalenza spettrale. la condizione inf-sup (cenni). Esempi di precondizionatori ottimali per il problema di Stokes e per le equazioni ellittiche in forma mista.
30 Apr 2024 (2h 00m)
Michele Benzi - Course (teaching activity) - Face to face
Precondizionatori basati sull'approssimazione del complemento di Schur o della sua inversa. Euristiche. Linearizzazione di Picard delle equazioni di Navier-Stokes incomprimibili e problema di Oseen. Precondizionatori di Elman (BFBT) e di Kay/Loghin/Wathen (PCD). Approcci basati sulla formulazione "augmented Lagrangian".
02 May 2024 (2h 00m)
Michele Benzi - Course (teaching activity) - Face to face
Precondizionatori di tipo "constraint". Analisi spettrale. Problemi di tipo "Double Saddle Point", Esempi: problema accoppiato di Stokes-Darcy, problema dei cristalli liquidi (minimizzazione dell'energia libera di Helmholtz con vincoli). Condizioni di risolubilita`, esempi di precondizionatori a blocchi e risultati sullo spettro delle matrici precondizionate.
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