Aritmetica delle Curve Ellittiche

Periodo di svolgimento
Ore del corso
40
Ore dei docenti responsabili
40
Ore di didattica integrativa
0
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Modalità esame

Prova orale

Docente

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Prerequisiti

Il corso è rivolto agli studenti del IV-V anno che abbiano conoscenza del linguaggio di base della geometria algebrica classica. E' consigliabile, ma non strettamente necessario, aver seguito un corso di teoria algebrica dei numeri.

Programma

- Richiami di geometria algebrica. Teorema di Riemann-Roch.

- Equazione di Weierstrass di una curva ellittica. Invarianti. Forma di Legendre. Legge di gruppo in modo geometrico, aritmetico e via divisori.

- Isogenie ed anello degli endomorfismi. Moltiplicazione complessa. Il paring di Weil.

- Richiami di teoria di Galois. Gruppi profiniti. Il modulo di Tate. Il teoremi di Faltings e di Serre.

- Curve ellittiche su campi finiti. La funzione zeta e le congetture di Weil.

- Gruppi formali.

- Richiami di teoria dei numeri. Campi locali e campi globali.

- Curve ellittiche su campi locali. Buona e cattiva riduzione. Il criterio di Neron-Ogg-Shafarevich.

- Coomologia di Galois e sequenza di Kummer.

- Il teorema di Mordell-Weil debole.

- Altezze su spazi proiettivi. La procedura di discesa. Dimostrazione del teorema di Mordell-Weil.

- Punti interi e teorema di Nutz-Nagell.

- Cenni su argomenti avanzati.

Obiettivi formativi

Introdurre gli studenti agli aspetti aritmetici e geometrici di base della teoria delle curve ellittiche su campi arbitrari. Particolare attenzione sarà rivolta alle curve su campi di numeri ed alla prova del teorema di Mordell-Weil, uno dei più importanti risultati nel campo della geometria aritmetica.

Riferimenti bibliografici

- J. Silverman, "The arithmetic of elliptic curves"

- D. Husemöller, "Elliptic curves"