Geometria riemanniana
Prerequisiti
Conoscenza di base di varietá differenziabili: campivettoriali e tensoriali, forme differenziali, integrazione su varietá. Consigliato per studenti del quarto e quinto anno, o del Prefezionamento in caso non avessero seguito corsi analoghi.
Programma
- Metriche Riemanniane
- Connessioni affini
- Curvatura Riemanniana e di Ricci
- Trasporto parallelo
- Geodetiche e mappa esponenziale
- Variazione prima e seconda della lunghezza
- Campi di Jacobi e punti coniugati
- Immersioni isometriche
- Teoremi di Hopf-Rinow e Hadamard
- Spazi a curvatura costante
- Teorema di Bonnet-Myers
- Varieta' a curvatura negativa
Tempo permettendo: Teoremi della sfera
Obiettivi formativi
Lo scopo del corso e' di mostrare l'uso di strumenti analitici e del calcolo differenziale per studiare la geometria e la topologia delle varieta'.
Riferimenti bibliografici
- M. Do Carmo: Riemannian Geometry.
- P. Petersen: Riemannian Geometry.
- M. Spivak: A comprehensive introduction to differential geometry