Introduzione ai sistemi dinamici I

Periodo di svolgimento
Ore del corso
60
Ore dei docenti responsabili
45
Ore di didattica integrativa
15
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Modalità esame

Prova scritta e orale

Docente

Vedi dettagli del docente

Prerequisiti

Studenti del secondo anno di matematica e fisica.

Programma

Introduzione alla teoria della probabilità:

Spazi di misura. Misura di Lebesgue. Misure di probabilità. Estensione di misure e teorema di Dynkin. Spazi L^p. Teorema di Radon-Nykodim e misure con densità. Misure invarianti. Variabili aleatorie discrete. Indipendenza, aspettazione condizionale.

Breve introduzione alle serie Fourier: 

Spazi di Hilbert. Sistemi ortonormali, basi di Hilbert, diseguaglianza di Bessel. Completezza. Serie di Fourier. Lemma di Riemann-Lebesgue. Regolarità di funzioni periodiche e decadimento dei coefficienti di Fourier. 

Sistemi dinamici:  

sistemi dinamici a tempo discreto e a tempo continuo. Equazioni differenziali ordinarie, flussi, posizioni di equilibrio. Equazioni differenziali lineari. Linearizzazione di una E.D.O. Sospensione di un sistema dinamico a tempo discreto. Sistemi dinamici topologici. 

Transitività, minimalità. Rotazioni irrazionali, endomorfismi espansivi della circonferenza. Schemi di Bernoulli topologici. Sistemi di funzione iterati.

Sistemi dinamici misurabili. Teorema di ricorrenza di Poincaré. Teorema di Krylov-Bogoliubov (enunciato). Teorema di Birkhoff. Operatore di Perron-Frobenius. Ergodicità, mescolamento. Teorema ergodico di Von Neumann. Automorfisimi iperbolici di tori. 

Introduzione alla teoria dell'informazione: 

Entropia di Shannon. Entropia relativa. Informazione mutua. Proprietà di equipartizione asintotica. Compressione dei dati. 

Catene di Markov, tasso di entropia. Camminata aleatoria su un grafo. Predizione, entropia e scommesse: criterio di Kelly.  

Teoria dell'informazione, codici, compressione dei dati e predizione.

Entropia e sistemi dinamici: 

Entropia topologica. Entropia di Kolmogorov-Sinai. Schemi di Bernoulli. Catene di Markov. Grafi, cammini aleatori su grafi. Teorema di Perron-Frobenius. Algoritmo di page-rank di Google.




Obiettivi formativi

L'obiettivo del corso è di introdurre le nozioni
fondamentali delle moderna teoria dei sistemi dinamici e
della teoria dell'informazione.

Riferimenti bibliografici

Introduzione ai sistemi dinamici (dispense che verranno distribuite agli studenti)

Shlomo Sternberg: Dynamical Systems

Cover-Thomas: Elements of Information Theory

Brin-Stuck: Introduction to dynamical systems

Hirsch-Smale-Devaney: Differential equations, dynamical systems and an introduction to chaos