Modelli discreti e continui in Probabilità

Periodo di svolgimento
Ore del corso
40
Ore dei docenti responsabili
40
Ore di didattica integrativa
0
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Modalità esame

Relazione di seminario

Docente

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Docente

Alessandra Caraceni

Prerequisiti

Il corso di Elementi di Probabilità (II anno) è un ovvio prerequisito. Tuttavia è necessario conoscere vari argomenti meglio trattati nel corso denominato "Probabilità" del Corso di Laurea in Matematica dell'Università di Pisa, corso del III anno, quindi
parallelo a questo. Pertanto, visto che il corso di "Probabilità" si svolge nel primo semestre, 
il corso qui descritto inizierà in novembre in modo da potersi accodare all'altro, prestando attenzione a non anticipare materiale
dell'altro corso.

Programma

Processi di Markov
  1. Richiami sulle catene di Markov
  2. Definizioni e prime proprietà dei processi di Markov a tempo continuo e salti
  3. Generatore infinitesimale, esempi
  4. Costruzione di processi di Markov a salti
  5. Alcuni elementi di teoria delle martingale
  6. Formula di Dynkin, applicazioni
  7. Entropia, convergenza all'equilibrio, forma di Dirichlet.
Possibili approfondimenti: un esempio di limite di scala. 
Teoria delle grandi deviazioni
  1. Definizioni e risultati preliminari, incluso il principio di contrazione
  2. Risultati relativi a variabili i.i.d., Chernoff bounds
  3. Entropia e grandi deviazioni.
Possibili approfondimenti:  grandi deviazioni e meccanica statistica.
Coupling & mixing time
  1. La distanza di variazione totale via coupling
  2. Convergenza di catene di Markov e mixing time
  3. Esempi di stime dall’alto per il mixing time usando coupling
  4. Path coupling (e il mixing time di SSEP)
  5. Alcune stime dal basso per il mixing time
Possibili approfondimenti: metodi spettrali e il relaxation time; coupling non markoviani; la tecnica del coupling from the past; mixing time in tempo continuo.

Processi di diramazione
  1. Processi di diramazione e probabilità di sopravvivenza
  2. La progenie totale e la cardinalità delle generazioni
  3. Interpretazione in termini di passeggiate aleatorie
  4. Il caso supercritico e il teorema di Kesten-Stigum
  5. Processi di diramazione Poisson, binomiali, geometrici e applicazioni agli alberi combinatori
  6. Applicazioni ai grafi aleatori: Erdős–Rényi, la transizione di fase e la componente gigante
Possibili approfondimenti: il size-biasing e i limiti locali; la criticalità e i limiti di scala; approfondimenti su Erdős–Rényi (stime di grandi deviazioni e funzioni soglia).

Obiettivi formativi

Il corso si propone di presentare alcuni temi fondamentali della Probabilità, complementari però a quelli già trattati dalla didattica del Corso di Laurea in Matematica (lauree triennali e magistrali) dell'Università di Pisa. 

Uno di questi è rappresentato dai processi di Markov a tempo continuo e stati finiti o numerabili. Si presuppone che gli studenti del terzo anno conoscano già le basi delle catene di Markov a tempo discreto, teoria che verrà riassunta concisamente a inizio corso. Da lì si partirà sia per approfondimenti sulle catene di Markov stesse, sia per lo studio dei processi di Markov a salti a tempo continuo.


Un secondo tema fondamentale è la teoria delle grandi deviazioni. Nel corso di laurea in Matematica lo studente approfondisce i teoremi limite del tipo grandi numeri e teorema limite centrale. La teoria delle grandi deviazioni rappresenta la terza direzione importante di teoremi limite del Calcolo delle Probabilità. Ha applicazioni praticamente in tutti gli ambiti dell probabilità. Verranno illustrate le basi ed alcuni risultati particolari come le stime di Chernoff.
La parte successiva del corso presenta una serie di approfondimenti che coinvolgono la teoria sviluppata fin qui, con un occhio particolare all’ambito discreto, ai grafi aleatori e alla meccanica statistica. Si parlerà di mixing time di catene di Markov, verranno affrontati vari problemi correlati e presentate tecniche per la sua stima dall’alto e dal basso. Svilupperemo poi una parte della teoria dei processi di diramazione e parleremo di loro sorprendenti applicazioni combinatorie, nonché a modelli di grafi aleatori.

Riferimenti bibliografici

Appunti forniti dal docente