Modelli discreti e continui in Probabilità
Prerequisiti
Il corso di Elementi di Probabilità (II anno) è un ovvio prerequisito. Tuttavia è necessario conoscere vari argomenti meglio trattati nel corso denominato "Probabilità" del Corso di Laurea in Matematica dell'Università di Pisa, corso del III anno, quindi
parallelo a questo. Pertanto, visto che il corso di "Probabilità" si svolge nel primo semestre,
il corso qui descritto inizierà in novembre in modo da potersi accodare all'altro, prestando attenzione a non anticipare materiale
dell'altro corso.
Programma
- Richiami sulle catene di Markov
- Definizioni e prime proprietà dei processi di Markov a tempo continuo e salti
- Generatore infinitesimale, esempi
- Costruzione di processi di Markov a salti
- Alcuni elementi di teoria delle martingale
- Formula di Dynkin, applicazioni
- Entropia, convergenza all'equilibrio, forma di Dirichlet.
- Definizioni e risultati preliminari, incluso il principio di contrazione
- Risultati relativi a variabili i.i.d., Chernoff bounds
- Entropia e grandi deviazioni.
- La distanza di variazione totale via coupling
- Convergenza di catene di Markov e mixing time
- Esempi di stime dall’alto per il mixing time usando coupling
- Path coupling (e il mixing time di SSEP)
- Alcune stime dal basso per il mixing time
- Processi di diramazione e probabilità di sopravvivenza
- La progenie totale e la cardinalità delle generazioni
- Interpretazione in termini di passeggiate aleatorie
- Il caso supercritico e il teorema di Kesten-Stigum
- Processi di diramazione Poisson, binomiali, geometrici e applicazioni agli alberi combinatori
- Applicazioni ai grafi aleatori: Erdős–Rényi, la transizione di fase e la componente gigante
Obiettivi formativi
Il corso si propone di presentare alcuni temi fondamentali della Probabilità, complementari però a quelli già trattati dalla didattica del Corso di Laurea in Matematica (lauree triennali e magistrali) dell'Università di Pisa.
Uno di questi è rappresentato dai processi di Markov a tempo continuo e stati finiti o numerabili. Si presuppone che gli studenti del terzo anno conoscano già le basi delle catene di Markov a tempo discreto, teoria che verrà riassunta concisamente a inizio corso. Da lì si partirà sia per approfondimenti sulle catene di Markov stesse, sia per lo studio dei processi di Markov a salti a tempo continuo.
Un secondo tema fondamentale è la teoria delle grandi deviazioni. Nel corso di laurea in Matematica lo studente approfondisce i teoremi limite del tipo grandi numeri e teorema limite centrale. La teoria delle grandi deviazioni rappresenta la terza direzione importante di teoremi limite del Calcolo delle Probabilità. Ha applicazioni praticamente in tutti gli ambiti dell probabilità. Verranno illustrate le basi ed alcuni risultati particolari come le stime di Chernoff.
Riferimenti bibliografici
Appunti forniti dai docenti