Problemi variazionali non compatti
Prerequisiti
Analisi Funzionale, Teoria Ellittica, Nozioni di base di Calcolo delle Variazioni. Consigliato a perfezionandi e studenti del V anno
Programma
Introduzione e motivazioni
Lemma di Strauss
Esistenza e non esistenza per problemi semilineari in R^n
Metodo dei moving planes
Principio di compattezza per concentrazione, I
Successioni di Palais-Smale non compatte
Soluzioni variazionali per equazioni non autonome
Problemi con esponente critico
Principio di compattezza per concentrazione, II
Teorema di Brezis-Nirenberg
Problemi in geometria conforme
Obiettivi formativi
Lo scopo del corso e’ di illustrare un gruppo di problemi di tipo variazionale che presentano mancanza di compattezza, e di mostrare tecniche generali e piu’ specifiche che permettono di affrontarli. Le difficolta’ di questi problemi sono dovute alla mancanza di compattezza di embedding per spazi funzionali opportuni, originati dalla non limitatezza dei domini (equazioni di Schroedinger non lineari) oppure da proprieta’ geometriche di invarianza per riscalamento (prescrizione conforme di curvatura).
Verranno discusse tecniche quali l’utilizzo di spazi simmetrici, il principio di compattezza per concetrazione, e l’uso di stime asintotiche o perturbative per sopperire al problema di mancanza di compattezza.
Riferimenti bibliografici
Struwe: Variational Methods
Ambrosetti-Malchiodi: Nonlinear Analysis and Semilinear Elliptic Problems
Aubin: Some nonlinear problems in Riemannian Geometry