Problemi variazionali non compatti

Periodo di svolgimento
‌‌
Info sul corso
Ore del corso
40
Ore dei docenti responsabili
40
Ore di didattica integrativa
0
CFU 6
‌‌

Modalità esame

Prova orale e relazione di seminario

Docente

Vedi dettagli del docente

Prerequisiti

Analisi Funzionale, Teoria Ellittica, Nozioni di base di Calcolo delle Variazioni. Consigliato a perfezionandi e studenti del V anno

Programma

Introduzione e motivazioni

Lemma di Strauss

Esistenza e non esistenza per problemi semilineari in R^n

Metodo dei moving planes

Principio di compattezza per concentrazione, I

Successioni di Palais-Smale non compatte

Soluzioni variazionali per equazioni non autonome

Problemi con esponente critico

Principio di compattezza per concentrazione, II

Teorema di Brezis-Nirenberg

Problemi in geometria conforme

Obiettivi formativi

Lo scopo del corso e’ di illustrare un gruppo di problemi di tipo variazionale che presentano mancanza di compattezza, e di mostrare tecniche generali e piu’ specifiche che permettono di affrontarli. Le difficolta’ di questi problemi sono dovute alla mancanza di compattezza di embedding per spazi funzionali opportuni, originati dalla non limitatezza dei domini (equazioni di Schroedinger non lineari) oppure da proprieta’ geometriche di invarianza per riscalamento (prescrizione conforme di curvatura).
Verranno discusse tecniche quali l’utilizzo di spazi simmetrici, il principio di compattezza per concetrazione, e l’uso di stime asintotiche o perturbative per sopperire al problema di mancanza di compattezza.

Riferimenti bibliografici

Struwe: Variational Methods
Ambrosetti-Malchiodi: Nonlinear Analysis and Semilinear Elliptic Problems
Aubin: Some nonlinear problems in Riemannian Geometry