Teoria Geometrica della Misura II

Periodo di svolgimento
Ore del corso
40
Ore dei docenti responsabili
40
Ore di didattica integrativa
0
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Modalità esame

Prova orale

Docente

Vedi dettagli del docente

Prerequisiti

Ultimo anno laurea magistrale, PhD

Programma

Lo spazio BV
Funzioni BV di una variabile
Insiemi di perimetro finito
Teoremi di immersione e disuguaglianze isoperimetriche
Struttura degli insiemi di perimetro finito
Continuità e differenziabilità approssimate
Proprietà fini delle funzioni BV
Teoremi di traccia
Decomposizione della derivata e proprietà di rango uno
Derivazione della funzione composta
Comportamento delle funzioni BV su famiglie di segmenti

Teoria delle correnti
Operazioni fondamentali
Correnti Normali, Flat, Rettificabili
Slicing
Disuguaglianza isoperimetrica e teorema di deformazione
Teoremi di chiusura e di rettificabilità del bordo

Cenni di teoria dei varifold
Compattezza e teorema di regolarità parziale per varifold minimizzanti

Obiettivi formativi

Lo scopo del corso e' di fornire un'introduzione alla moderna Teoria Geometrica della Misura. A partire dalla teoria in codimensione 1, vale a dire la teoria degli insiemi di perimetro finito e le funzioni BV, si estendera' il discorso a superfici (generalizzate) di dimensione e codimensione arbitrarie. Verrano presentati fondamentali teoremi di struttura e di compattezza, che conducono a risultati molto generali di esistenza di soluzioni per il problema di Plateau. Nella parte finale del corso verranno presentate le superfici non orientate (varifolds) e risultati di regolarità parziale.

Riferimenti bibliografici

L.Ambrosio, N.Fusco, D.Pallara: Functions of bounded variation and free discontinuity problems

P.Mattila: Geomety of sets and measures in Euclidean spaces

F.Morgan: Geometric Measure Theory: a beginner's guide

H.Federer: Geometric Measure Theory

S.G.Krantz, H.Parks: Geometric Integration Theory

L.Simon: Lectures on Geometric Measure Theory