Teoria Geometrica della Misura II
Prerequisiti
Ultimo anno laurea magistrale, PhD
Programma
Lo spazio BV
Funzioni BV di una variabile
Insiemi di perimetro finito
Teoremi di immersione e disuguaglianze isoperimetriche
Struttura degli insiemi di perimetro finito
Continuità e differenziabilità approssimate
Proprietà fini delle funzioni BV
Teoremi di traccia
Decomposizione della derivata e proprietà di rango uno
Derivazione della funzione composta
Comportamento delle funzioni BV su famiglie di segmenti
Teoria delle correnti
Operazioni fondamentali
Correnti Normali, Flat, Rettificabili
Slicing
Disuguaglianza isoperimetrica e teorema di deformazione
Teoremi di chiusura e di rettificabilità del bordo
Cenni di teoria dei varifold
Compattezza e teorema di regolarità parziale per varifold minimizzanti
Obiettivi formativi
Lo scopo del corso e' di fornire un'introduzione alla moderna Teoria Geometrica della Misura. A partire dalla teoria in codimensione 1, vale a dire la teoria degli insiemi di perimetro finito e le funzioni BV, si estendera' il discorso a superfici (generalizzate) di dimensione e codimensione arbitrarie. Verrano presentati fondamentali teoremi di struttura e di compattezza, che conducono a risultati molto generali di esistenza di soluzioni per il problema di Plateau. Nella parte finale del corso verranno presentate le superfici non orientate (varifolds) e risultati di regolarità parziale.
Riferimenti bibliografici
L.Ambrosio, N.Fusco, D.Pallara: Functions of bounded variation and free discontinuity problems
P.Mattila: Geomety of sets and measures in Euclidean spaces
F.Morgan: Geometric Measure Theory: a beginner's guide
H.Federer: Geometric Measure Theory
S.G.Krantz, H.Parks: Geometric Integration Theory
L.Simon: Lectures on Geometric Measure Theory