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Introduzione ai sistemi dinamici I

Periodo di svolgimento

da Mercoledì, 30 Settembre 2020 a Domenica, 28 Febbraio 2021
Ore del corso: 60
Ore dei docenti responsabili: 50
Ore di didattica integrativa: 10

Modalità d'esame

  • Prova scritta
  • Prova orale

Programma

Spazi di misura. Misure di probabilità. Spazi L^p. Teorema di Radon-Nykodim e misure con densità. Misure invarianti.

Spazi di Hilbert. Serie di Fourier. 

Sistemi dinamici: tempo discreto e tempo continuo. 

Sistemi dinamici topologici. Transitività, minimalità, Teorema di Gottshalk-Hedlund. Riparametrizzazione temporale dei flussi ed equazione coomologica. Sistemi di funzione iterate (IFS). 

Dinamica locale: stabilità e linearizzabilità. Linearizzazione di germi olomorfi. Teorema di Siegel-Brjuno.

Sistemi dinamici misurabili. Teorema di ricorrenza di Poincaré. Teorema di Krylov-Bogoliubov. Teorema di Birkhoff. Operatore di Koopman e di Perron-Frobenius. Ergodicità, mescolamento.

Introduzione alla teoria dell'informazione. Entropia di Shannon. Entropia relativa. Informazione mutua. Proprietà di equipartizione asintotica.

Entropia topologica. Entropia di Kolmogorov-Sinai. Schemi di Bernoulli. Catene di Markov.

Grafi, cammini aleatori su grafi. Teorema di Perron-Frobenius. Algoritmo di page-rank di Google.

Frazioni continue, mappa di Gauss. Automorfisimi iperbolici di tori.

 

 

Obiettivi formativi

L'obiettivo del corso è di introdurre le nozioni fondamentali delle moderna teoria dei sistemi dinamici e della teoria dell'informazione. 

Riferimenti bibliografici

Marmi: introduzione ai sistemi dinamici (dispense che verranno distribuite agli studenti)

Cover-Thomas: Elements of Information Theory

Sternberg: Dynamical Systems