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Funzioni ellittiche e modulari

Periodo di svolgimento

da Giovedì, 19 Settembre 2019 a Domenica, 24 Maggio 2020
Ore del corso: 40
Ore dei docenti responsabili: 40

Modalità d'esame

  • Prova orale

Prerequisiti

Si richiede la conoscenza dell'analisi complessa elementare e topologia elementare. 

Il corso e' adatto agli studenti del III anno, ma e' assolutamente accessibile (almeno in gran parte) a studenti interessati del II anno, e utile presumibilmente anche a studenti piu' anziani e perfezionandi interessati.

Programma

FUNZIONI ELLITTICHE E MODULARI

- Funzioni meromorfe doppiamente periodiche; Teoremi di Liouville; funzione di Weierstrass; teorema di addizione.

- Funzioni ellittiche e curve ellittiche complesse; classi di isomorfismo; endomorfismi e automorfismi; punti di ordine finito. Isogenie. Moltiplicazione complessa.

- Il gruppo modulare: dominio fondamentale, generazione.

- Funzioni e forme modulari; serie di Eisenstein; la forma modulare Delta e le curve ellittiche; spazi ed algebre di forme modulari di peso assegnato.

- L'invariante modulare j. Invarianti singolari e valori speciali; equazione modulare.

- Sviluppi di Fourier; ordine di grandezza dei coefficienti di Fourier di una forma modulare.

- Funzioni zeta. sigma, ed espansioni in prodotto infinito. Funzioni theta.

- Operatori di Hecke, prodotto scalare di Petersson, autofunzioni.

- Cenni su sottogruppi di congruenza del gruppo modulare; il problema dei sottogruppi di congruenza.

- Forme modulari con livello. Applicazioni aritmetiche a problemi additivi.

 

Obiettivi formativi:

Il corso contiene materiale basilare che origina da svariate teorie: vi sono elementi di analisi complessa, geometria algebrica ed algebra. Costituisce una introduzione alla teoria delle funzioni ellittiche e modulari, contribuendo alla cultura generale di ogni studente in matematica e che permette poi agli interessati di entrare in approfondimenti nelle direzioni desiderate.

 

 

Riferimenti bibliografici

J-P. Serre, Cours d'arithmetique

S. Lang, Elliptic functions