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Analisi di Fourier

Periodo di svolgimento

da Lunedì, 14 Ottobre 2019 a Venerdì, 29 Maggio 2020
Ore del corso: 40
Ore dei docenti responsabili: 40

Modalità d'esame

  • Prova orale

Prerequisiti

Integrale di Lebesgue, teoria della misura, nozioni fondamentali di analisi funzionale (spazi di Banach e operatori, topologie deboli, teoremi di Hahn-Banach, di Banach-Alaoglu, principio di limitatezza uniforme).

Studenti del quarto e quinto anno del corso ordinario

Programma

Programma

Serie di Fourier. Proprietà fondamentali, problemi di convergenza puntuale e in norma Lp, metodi di sommabilità. Relazioni tra sommabilità secondo Abel e comportamento al bordo di funzioni armoniche sul disco in C. Nozione di armonica coniugata di una funzione armonica. 

Teorema di interpolazione di Riesz-Thorin. Disuguaglianze di Young e di Hausdorff-Young.

Convergenza in norma Ldi serie di Fourier. 

Trasformata di Fourier di una funzione definita su Rn. Spazio di Schwartz e sua invarianza rispetto alla trasformata. Trasformate di misure e distribuzioni temperate. Funzioni armoniche sul semispazio superiore in Rn+1, trasformata di Hilbert e trasformate di Riesz.

Moltiplicatori di Fourier per serie e trasformate. Teorema di deLeeuw. Formula di sommazione di Poisson. 

Funzione massimale di Hardy-Littlewood. Spazi Ldeboli e teorema di interpolazione di Marcinkiewicz. Teoria di Calderón-Zygmund per operatori a integrali singolari. Limitatezza Ldelle trasformate di Hilbert e di Riesz per p finito, p>1. Teorema di Mihlin-Hörmander per moltiplicatori di Fourier.

Serie di funzioni di Rademacher e teoria di Littlewood-Paley, con applicazioni Convergenza in norma di serie di Fourier multiple. Il teorema di Fefferman sulla convergenza sferica.

 

Obiettivi formativi:

Fornire nozioni fondamentali e metodi moderni dell'analisi di Fourier.

Riferimenti bibliografici

Verranno forniti appunti durante il corso.