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Teoria delle rappresentazioni delle algebre di dimensione finita

Periodo di svolgimento

da Martedì, 1 Ottobre 2019 a Domenica, 31 Maggio 2020
Ore del corso: 40
Ore dei docenti responsabili: 40

Modalità d'esame

  • Prova orale

Prerequisiti

Prerequisiti: algebra lineare, algebra elementare.

Anno di corso: quarto-quinto.

Programma

Lo scopo e' lo studio di moduli (=rappresentazioni) su una algebra A di dimensione finita su un campo k, tramite il linguaggio di quiver, cioe' insiemi di spazi vettoriali e mappe lineari.
Ci sono collegamenti stretti con l'algebra omologica e con la teoria di rappresentazioni di algebre di Kac-Moody.

Programma:

  • Elementi della teoria di categorie: categorie, funtori, funtori aggiunti (Hom e tensor).
  • Teorema di Gabriel: Rappresentazioni di algebre di dimensione finita sono equivalenti a rappresentazioni di quiver.
  • Teorema di Krull-Remak-Schmidt: ogni rappresentazione ha una decomposizione essenzialmente unica in rappresentazioni indecomponibili.
  • Classificazione di rappresentazioni di quiver ADE: descrizione di tutti i rappresentazioni indecomponibili, quiver di Auslander-Reiten.
  • Algebre di Hall: collegamento della teoria delle rappresentazioni di quiver con algebre di Kac-Moody.

Riferimenti bibliografici

  • Ibrahim Assem, Daniel Simson, Andrzej Skowronski: Elements of the Representation Theory of Associative Algebras: Volume 1, Cambridge University Press.
  • Ralf Schiffler: Quiver representations, Springer Verlag.
  • Andrew Hubery: Ringel-Hall algebras, web page.
  • Olivier Schiffmann: Lectures on Hall algebras, arxiv:math/0611617.