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Stochastic PDEs and Applications

Periodo di svolgimento

da Lunedì, 13 Gennaio 2020 a Venerdì, 29 Maggio 2020
Ore del corso: 40
Ore dei docenti responsabili: 40

Modalità d'esame

  • Prova orale

Prerequisiti

Il corso è progettato per il dottorato in matematica e può essere seguito anche da studenti di dottorati affini. Possono frequentarlo anche studenti della laurea magistrale, sapendo però che tra i prerequisiti c'è la conoscenza del calcolo stocastico in dimensione finita - processi stocastici, moto browniano e sue proprietà, un po' di martingale, integrazione stocastica e formula di Ito, qualche elemento su formula di Girsanov ed equazioni differenziali stocastiche in dimensione finita, con la possibilità eventualmente di riprendere questi ultimi - ed un po' di esperienza con equazioni alle derivate parziali deterministiche di tipo principalmente parabolico, eventualmente anche solo la conoscenza di qualche elemento di teoria riguardante l'equazione del calore. Non è richiesta conoscenza pregressa di equazioni della fluidodinamica.

Programma

Le 40 ore saranno pressapoco divise in tre parti.

La prima parte, di circa 15 ore, riguarderà i fondamenti del calcolo stocastico in dimensione infinita - il concetto di white noise cilindrico, ad esempio - ed i primi elementi di teoria delle equazioni alle derivate parziali stocastiche, come ad esempio la convoluzione stocastica. In questa parte si potrà, entro certi limiti, cercare di recuperare rapidamente alcuni dei prerequisiti mancanti, se richiesto dagli studenti.

La seconda parte, di circa 15 ore, tratterà esempi più avanzati come le equazioni di Eulero e Navier-Stokes stocastiche, e questioni più avanzate come il legame con le associate equazioni di Kolmogorov e Fokker-Planck in dimensione infinita.

La terza parte, di circa 10 ore, discuterà applicazioni, principalmente nell'ambito della climatologia, trattando sia alcune questioni di modellistica - come il ruolo del noise per la modellizzazione subgrid - sia come affrontare il difficile problema del calcolo di probabilità e valori attesi associati alle soluzioni.

 

Obiettivi formativi:

Lo scopo del corso è introdurre gli studenti ad alcune metodologie di studio delle SPDE, prediligendo questioni di ampio interesse e motodi di ampia applicabilità. Gli studenti potranno inoltre vedere l'interesse appicativo nell'ambito degli studi sui cambiamenti climatici.

Riferimenti bibliografici

Verranno fornite dispense.