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La matematica nel mondo contemporaneo

Coordinatori del corso

  • Francesco Pegoraro, Università di Pisa
  • Fulvio Ricci, Scuola Normale Superiore

Destinatari
Docenti di scuola secondaria di secondo grado

Finalità, obiettivi e metodologia di lavoro
Il corso si compone di tre moduli: 1. Complessità e Probabilità (tre incontri); 2. Matrici, grafi, catene di Markov: nuove applicazioni di strumenti matematici classici (tre incontri); 3. I mille volti della luce: ondulatoria, corpuscolare e ... superfluida. Una breve introduzione ai fluidi quantistici di luce (due incontri).

I MODULO
Complessità e Probabilità
Angelo Vulpiani – Università di Roma “La Sapienza”, 17 e 18 gennaio 2019
Franco Flandoli – Scuola Normale Superiore, 25 gennaio 2019

3 lezioni di 2 ore ciascuna
Se osserviamo il mondo che ci circonda notiamo che esistono fenomeni regolari e prevedibili, ad esempio il susseguirsi del giorno e della notte, l'alternanza delle stagioni e le eclissi che sono calcolate dagli astronomi con grande anticipo e precisione. Per descrivere queste situazioni si usano leggi deterministiche, il cui prototipo sono le equazioni differenziali alla base della meccanica di Newton e di gran parte della fisica classica.

Ci sono però anche fenomeni che non sembrano affatto seguire leggi precise come quelle che valgono per le eclissi o per i corpi che cadono. Quando abbiamo a che fare con giochi come i dadi,  la roulette, il lotto, l'andamento della borsa, e così via, invece parlare di leggi usiamo termini come caso e aleatorietà, e la descrizione matematica si basa sulla teoria della probabilità.

Ovviamente non è del tutto soddisfacente assumere che esistano due tipi di situazioni completamente diverse: quelle regolate da leggi certe (deterministiche), e quelle che seguono leggi aleatorie. Si potrebbe infatti notare che i dadi e le palline delle roulette obbediscono alle leggi della meccanica di Newton, proprio come i sassi che cadono e i corpi celesti.

È possibile superare questa dicotomia apparentemente inconciliabile?

Vedremo come in presenza di caos, in cui piccole differenze dello stato del sistema al tempo iniziale vengono amplificate in modo esponenziale (il famoso, e spesso citato a sproposito, effetto farfalla), è possibile introdurre in modo coerente (e non soggettivo) concetti probabilistici anche in sistemi deterministici.

È interessante notare che, per quanto riguarda la certezza, questa non è affatto esclusiva delle teorie deterministiche. I teoremi limite (primo fra tutti la legge dei grandi numeri) mostrano che in un sistema con un grande numero di componenti si può avere un determinismo probabilistico.

Questo è stato ben riassunto da B.V. Gnedenko e A.N. Kolmogorov:

«Tutto il valore epistemologico della teoria delle probabilità è basato su questo: i fenomeni aleatori, considerati nella loro azione collettiva a grande scala, generano una regolarità non aleatoria».

II MODULO
Matrici, grafi, catene di Markov: nuove applicazioni di strumenti matematici classici
Michele Benzi – Scuola Normale Superiore, 28 febbraio, 1 e 8 marzo 2019

3 lezioni di 2 ore ciascuna
Lezione 1: In questo incontro si mostrerà che sistemi all’apparenza alquanto diversi quali i motori di ricerca su Internet, le reti sociali, il sistema nervoso e le interazioni tra proteine all’interno di una cellula possono essere descritti usando gli stessi strumenti matematici. Questi esempi verranno usati per introdurre i concetti fondamentali dell’algebra lineare, della teoria dei grafi e delle catene di Markov finite, e la nozione di centralità per grafi.

Lezione 2: Questa lezione sarà dedicata a una discussione dei principali algoritmi usati per il calcolo di varie misure di centralità per classificare i nodi di grafi, sia orientati che non orientati. A questo scopo verranno passate in rassegna le proprietà degli autovalori e autovettori di matrici non negative e la nozione di ergodicità per le catene di Markov finite. Verranno inoltre introdotte le funzioni di matrici.

Lezione 3: Nella prima parte della lezione verranno descritte alcune tecniche, come la Decomposizione ai Valori Singolari (SVD) e la Fattorizzazione Non Negativa (NMF) di matrici, largamente usate nell’analisi dei dati. Si farà anche cenno all’uso di strutture di dati multi-indice (“tensori”), per esempio per la descrizione dell’evoluzione temporale di reti dinamiche. Nella seconda parte verranno mostrati alcuni esempi concreti dell’uso delle varie tecniche descritte nel corso delle tre lezioni mediante esperimenti numerici realizzati in MATLAB, uno degli ambienti software per il calcolo numerico più diffusi.

III MODULO
I mille volti della luce: ondulatoria, corpuscolare e ... superfluida. Una breve introduzione ai fluidi quantistici di luce 
Iacopo Carusotto – INO-CNR BEC Center, Trento, 4 e 5 aprile 2019

2 lezioni di 2 ore ciascuna
Le lezioni inizieranno con una breve rassegna delle principali teorie che sono state sviluppate nei secoli per descrivere il comportamento della luce e della materia. Si proverà quindi ad animare una discussione critica collettiva delle differenze fisiche fondamentali che distinguono la luce dalla materia.

In base a questi concetti, si passerà poi a introdurre una classe di nuovi dispositivi ottici in cui i corpuscoli quantistici costituenti un fascio luminoso – i fotoni – sviluppano comportamenti collettivi analoghi a quelli delle particelle materiali di un fluido.

Verranno presentate, infine, le principali osservazioni sperimentali a sostegno di questa visione e messe in luce le potenziali applicazioni scientifiche e tecnologiche che essa contribuisce ad aprire.

Programma

  • Incontri 1 e 2: Qualche riflessione su Caos, Determinismo, Complessità e Probabilità, Angelo Vulpiani
  • Incontro 3: Qualche richiamo di Probabilità illustrato attraverso un problema di geofisica, Franco Flandoli
  • Incontri 4, 5 e 6 : Matrici, grafi, catene di Markov: nuove applicazioni di strumenti matematici classici, Michele Benzi
  • Incontro 7 e 8: I mille volti della luce: ondulatoria, corpuscolare e ... superfluida. Una breve introduzione ai fluidi quantistici di luce, Iacopo Carusotto

Date

I modulo

  • Incontro 1: giovedì 17 gennaio 2019, ore 16.00 -18.00 | Sala Azzurra
  • Incontro 2: venerdì 18 gennaio 2019, ore 16.00 -18.00 | Sala Azzurra
  • Incontro 3: venerdì 25 gennaio 2019, ore 16.00 -18.00 | Sala Azzurra

II modulo

  • Incontro 4: 28 febbraio 2019, ore 16.00 -18.00 | Aula Bianchi (SC) 
  • Incontro 5: 1 marzo 2019, ore 16.00 -18.00 | Aula Bianchi (SC) 
  • Incontro 6: 8 marzo 2019, ore 16.00 -18.00 | Aula Bianchi (SC)

III modulo

  • Incontro 7: 4 aprile 2019  | Aula Dini
  • Incontro 8: 5 aprile 2019  | Aula Bianchi (SC)

Sede

Scuola Normale Superiore
Palazzo della Carovana – Piazza dei Cavalieri, 7

Relatori

  • Michele Benzi – Scuola Normale Superiore
  • Iacopo Carusotto – Università di Trento
  • Franco Flandoli – Scuola Normale Superiore
  • Angelo Vulpiani – Università di Roma “La Sapienza”

Competenze attese

Scopo del corso è la familiarizzazione con aspetti della matematica e dell’informatica teorica che sono al tempo stesso oggetto di ricerca fondamentale (teoria della calcolabilità, scomposizioni di funzioni, analisi di dati, teoria dei numeri) e presupposto per sviluppi applicativi e tecnologici di forte attualità.

Verifica finale

Questionario di valutazione on line

Contatti

eventiculturali@sns.it

Modalità di iscrizione

La partecipazione è gratuita.
Le iscrizioni potranno avvenire compilando un form on line disponibile sul sito della Scuola Normale Superiore a questa pagina fino a esaurimento posti (massimo 50) e comunque non oltre le seguenti date di scadenza:

  • I modulo entro il 2 gennaio 2019
  • II modulo entro il 13 febbraio 2019
  • III modulo entro il 25 marzo 2019

Le iscrizioni saranno accolte in base all’ordine di arrivo.

Attestato

Al termine del corso ai partecipanti verrà rilasciato un attestato di frequenza, purché abbiano frequentato almeno il 75% delle ore di attività previste.

Le riproduzioni video delle lezioni saranno disponibili sul sito della Scuola Normale Superiore, alla pagina dedicata al corso, e sul canale Youtube SNS.