Modelli discreti e continui in Probabilità

Registro delle lezioni

Anno accademico 2021/2022
Docente Alessandra Caraceni, Franco Flandoli

Lecture

  • 05 Nov 2021 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista

    Catene di Markov dal punto di vista algebrico. Esempi: B&D, CA, SIR, cenno a SEP e TASEP. Catene di Markov come processi stocastici. Catene di Markov come dinamiche stocastiche, esistenza del processo, variante per CA.

  • 11 Nov 2021 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista

    Catene come cocicli. Aspetti topologici sulla convergenza di misure. Esistenza di misure invarianti.

  • 12 Nov 2021 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista

    Irriducibilità e unicità di misure invarianti. Semigruppi uniformemente continui e loro generatori infinitesimali, teoria generale. Inizio di applicazione alle catene a tempo continuo.

  • 18 Nov 2021 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista

    Due teoremi che legano i semigruppi markoviani uniformemente continui a proprietà di segno dei loro generatori. Dal discreto al continuo: euristica di un'approssimazione di processi a tempo continuo e salti tramite catene di Markov a tempo discreto, con intertempo tendente a zero. Tempi geometrici ed esponenzali di permanenza negli stati e probabilità delle diverse transizioni possibili. Orologi esponenziali e tassi di transizione.

  • 19 Nov 2021 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista

    Orologi esponenziali per sistemi su reticolo. Il caso degli automi cellulari e specificamente di SIR. Il caso di individui in movimento. Dinamica stocastica (primi elementi). Evoluzione temporale di osservabili.

  • 25 Nov 2021 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista

    Formula di Dynkin, dimostrando solo che il valore atteso del resto è zero. Sua applicazione a SIR e SSEP: introduzione del generaotre di questi due processi, calcolo del generatore su osservabili significativi, equazione per l'evoluzione temporale di grandezze macroscopiche significative. Idea dei possibili limiti continui, le ODE di SIR e l'equazione del calore.

  • 26 Nov 2021 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista

    Seconda formula di Dynkin. Riscrittura del termine complesso. Alcuni preliminari su speranza condizionale e martingale. Dimostrazione che il resto della prima formula di Dynkin è una martingala. Suo utilizzo per dimostrare che il resto della seconda formula di Dynkin ha media nulla. Applicazione a SIR: stima della varianza del resto. Teorema di convergenza, per SIR, al modello continuo.

  • 02 Dic 2021 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista

    Catene di Markov a tempo discreto: varie verifiche di markovianità, con riformulazioni della definizione, sia per singoli processi che per famiglie markoviane ed omogenee. Alcuni elementi su speranza condizionale. Alcuni elementi sulla markovianità a tempo continuo.

  • 09 Dic 2021 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista

    Dalla catena al generatore infinitesimale. Misure invarianti a tempo continuo, preliminari. Funzionali del tipo entropia relativa, proprietà preliminari, decrescenza lungo la dinamica markoviana. Consequenze per catene a tempo discreto e continuo con numero finito di stati.

  • 16 Dic 2021 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista

    Applicazione della decrescenza dell'entropia ad unicità e convergenza all'equilibrio. Generazione di semigruppi markoviani in L^2_\mu. Forma di Dirichlet, sua positività. Spectral gap e conseguenze su convergenza esponenziale all'equilibrio. Cenno alla disuguaglianza di Sobolev logaritmica ed alla decrescita esponenziale dell'entropia.