Complementi di Matematica per Biologi e Chimici

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Anno accademico 2023/2024
Docente Franco Flandoli, Michele Benzi

Lecture

  • 03 Ott 2023 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Schema del corso. Esercizi test per casa (due studi di funzione calcolo di integrali impropri). Fondamenti della matematica: primo cenno alla costruzione dei numeri naturali. Coppie ordinate e non ordinate, prodotto cartesiano. Relazioni. Relazioni di equivalenza, d'ordine, funzioni.

  • 05 Ott 2023 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Studi di funzione e zeri: esercizio assegnato per casa. Soluzione esercizio integrazione per casa, con vari metodi. Precisazioni sugli integrali impropri sulla retta. Densità di probabilità. Il calcolo facoltativo) per la gaussiana standard. Definizione di gaussiana qualsiasi. Esercizio per casa: verificare che la formula generale è una densità. Probabilità associata a densità e funzione cumulativa. Variabili aleatorie (livello intuitivo) e legame tra le loro probabilità e le densità o le cumulative. Enunciato, ancora impreciso, del teorema limite centrale.

  • 10 Ott 2023 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Relazioni di equivalenza: classi di equivalenza, iniseme quoziente, esempio delle classi di resto, riusultati rigorsi con qualche dimostrazione sulle classi di equivalenza. Relazioni d'ordine: definizione, r.o. totale o parziale, tre esempi. Funzioni: varie definizioni su dominio, codominio, immagine, iniettiva, suriettiva, biunivoca, crescente decrescente e monotona su un intervallo, esempi elementari. Teorema che lega la monotonia al segno della derivata, con dimostrazione.

  • 12 Ott 2023 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Soluzione esercizio complesso su zeri e studio di funzione. Completamento dimostrazione teorema sulla monotonia. Enunciato e dimostrazione del teorema di Fermat. Si danno per scontati i risultati elementari sui limiti, come il teorema di permanenza del segno. Esempio di funzione derivabile con derivata non continua. Legame concettuale col fatto che per la derivata vale il teorema di Cauchy, che somiglia ad un teorema dei valori intermedi.

  • 17 Ott 2023 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Cenni al Capitolo II: Costruzione di Z usando coppie di naturali ed una relazione di equivalenza. Eserczio per casa su tale relazione. Costruzione di Q a partire da Z, analogo esercizio. Cenni al Capitolo III: simboli di Landau per sucessioni. Relazioni d'ordine: concetti di massimo, massimale, maggiorante, esempi.

  • 19 Ott 2023 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Presentazione assiomatica della creazione dei numeri naturali: successore, assioma dell'infinito, lemma su intersezione di insiemi S-saturi, definizione di N in un insieme S-saturo A, teorema sull'uguaglianza tra tali inisiemi N (tutto dimostrato). Soluzione esercizio per casa su creazione di una relazione di equivalenza per successioni (Capitolo III) tale che, quozientando, si possa introdurre una relazione d'ordine basata sul concetto di O-grande. Probabilità: definizione di media e varianza. Esercizio per casa: calcolare media e varianza di gaussiane, esponenziali, uniformi. Creare esempi con media infinita, o con media finita ma varianza infinita.

  • 24 Ott 2023 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Principio d'induzione (con dimostrazione) ed un suo esempio. Esercizi su principio d'induzione e successioni definite per ricorrenza. Soluzione di esercizi su integrali di interesse per la probabilità, inclusi integrali divergenti.

  • 26 Ott 2023 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Relazione di equivalenza tra insiemi che porta alla definizione di Cardinalità. Relazione d'ordine, tale in base al teorema di Cantor-Bernstein, di cui si discute l'idea di dimostrazione dal punto di vista grafico. Sunto sul linguaggio delle v.a. in relazione a probabilità calcolate con la pdf e la cdf (Paragrafo 1.2.6) ed in relazione a medie calcolate con integrali. Trasformazioni di v.a. e idee o regole per il calcolo di probabilità e medie (es. Teorema 8 del Capitolo 1, cenno iniziale al paragrafo 1.2.20). Riassunto delle varie regole inclusi i legami tra pdf e cdf (Paragrafo 1.2.6). Esercizio per casa: data una v.a. X esponenziale, trovare la pdf di |X|, X^2, sqrt(X).

  • 06 Nov 2023 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Soluzione esercizio di probabilità per casa. Cardinalità delle parti: teorema con dimostrazione. Questo conclude lo studio del Capitolo I delle dispense. Construzione dei numeri reali: segmenti, sezioni, ordinamento. Teorema sull'ordinamento totale e sulla completezza, con dimostrazione (per esercizio la verifica di alcuni passi). Questo conclude lo studio del Capitolo II delle dispense. Su richiesta: cenni sulle equazioni differenziali. Precisamente: equazioni in forma normale, legame tra equazioni di ordine n e sistemi, problema di Cauchy, cenno al teorema di esistenza e unicità, alcuni esempi con soluzioni esplicite, metodo delle variabili separate.

  • 07 Nov 2023 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Equazioni differenziali di ordine due: struttura delle soluzioni (somma di soluzione particolare più soluzione generale dell'omogenea, cenno al concetto di soluzioni indipendenti). Ricerca delle soluzioni dell'omogenea nel caso di coeficienti costanti: equazione caratteristica, caso di soluzioni reali distinte e coincindenti. Cenno alla ricerca della soluzione particolare. Breve introduzione ai numeri complessi: punti del piano con particolari operazioni di somma e prodotto. Esponenziale di un numero complesso. Tornando alle equazioni differenziali, caso di radici complesse.

  • 21 Nov 2023 (2h 00m)

    Michele Benzi - Corso (attività didattica) - In presenza

    Spazi vettoriali su R e C. Sottospazi. Independenza lineare, basi e dimensione. Esempi.

  • 23 Nov 2023 (2h 00m)

    Michele Benzi - Corso (attività didattica) - In presenza

    Prodotto scalare in uno spazio vettoriale. Esempi. Norma indotta dal prodotto scalare. Angolo tra vettori. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Basi ortonormali e proiezione ortogonale su un sottospazio. Complemento ortogonale di un sottospazio. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.

  • 28 Nov 2023 (2h 00m)

    Michele Benzi - Corso (attività didattica) - In presenza

    Definizione di norma di un vettore. Spazi vettoriali normati. Esempi di norme. Equivalenza di tutte le norme in dimensione finita. Casi particolari: norma 1, norma 2 e norma infinito. Metrica indotta da una norma. Trasformazioni lineari e matrici. Operazioni sulle matrici.

  • 30 Nov 2023 (2h 00m)

    Michele Benzi - Corso (attività didattica) - In presenza

    L'algebra delle matrici. Matrice trasposta e matrice trasposta coniugata. Matrici simmetriche ed Hermitiane. Matrice inversa di una matrice quadrata. Matrici ortogonali ed unitarie. Isomorfismi e isometrie di spazi vettoriali su R o C. Immagine e nucleo di una trasformazione lineare. Rango e nullita` di una trasformazione lineare (o matrice).

  • 05 Dic 2023 (2h 00m)

    Michele Benzi - Corso (attività didattica) - In presenza

    Dimostrazione che il rango di A e` uguale al rango della trasposta e che l'immagine della trasposta e` il complemento ortogonale del nucleo di A. Norme di matrici. Norme indotte e norma di Frobenius. Norme unitariamente invarianti. Traccia di una matrice e sue proprieta`. Prodotto scalare di Frobenius. Risoluzione di alcuni esercizi.

  • 07 Dic 2023 (2h 00m)

    Michele Benzi - Corso (attività didattica) - In presenza

    Teoremi sulla risolubilita` dei sistemi di m equazioni algebriche lineari in n incognite (di Rouche' e Capelli, dell'alternativa). Metodi di risoluzione per i sistemi lineari. Sistemi triangolari. Riduzione triangolare (piu` in generale, alla forma a gradini) di una matrice mediante operazioni elementari di riga. Uso della forma a gradini per la costruzione di basi di Ran(A) e Ker(A). Esercizi.

  • 12 Dic 2023 (2h 00m)

    Michele Benzi - Corso (attività didattica) - In presenza

    Determinanti e loro principali proprieta`. Minori e minori principali di una matrice. Teorema sull'esistenza della fattorizzazione LU di una matrice quadrata. Fattorizzazione LU con scambi di riga.

  • 18 Dic 2023 (2h 00m)

    Michele Benzi - Corso (attività didattica) - Mista

    Autovalori e autovettori di matrici. Polinomio caratteristico ed equazione caratteristica. Molteplicita` algebrica e molteplicita` geometrica di autovalori. Polinomi in una matrice.

  • 19 Dic 2023 (2h 00m)

    Michele Benzi - Corso (attività didattica) - Mista

    Autovalori di matrici unitarie, Hermitiane e anti-Hermitiane. Matrici simili e unitariamente simili. Condizioni necessarie e sufficienti affinche` una matrice sia diagonalizzabile. Forma triangolare di Schur e Teorema spettrale per matrici Hermitiane. Matrici (semi)definite positive. Fattorizzazione di Cholesky. Forma canonica di Jordan (cenni).

  • 21 Dic 2023 (2h 00m)

    Michele Benzi - Corso (attività didattica) - Mista

    Autovalori della matrice trasposta e trasposta coniugata. Teorema di Cayley-Hamilton. Matrici normali e loro caratterizzazione come classe delle matrici unitariamente diagonalizzabili. Proiettori spettrali associati a matrici normali (in paricolare, Hermitiane). Calcolo della traccia parziale di una matrice. Risoluzione di esercizi scelti.

  • 23 Gen 2024 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Esercizi vari su teoria degli insiemi, funzioni (iniettività ecc.), relazioni, estremo superiore, principio d'induzione. Assegnati per casa, dal testo di Complementi della SNS: cap 1: 2, 3, 4, 14, 16, 17, 19, 23, 50, 51, 53, 54, 55, 57, 59, 59 cap 2: 1, 4, 10, 12, 16 cap 3: 12.

  • 25 Gen 2024 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Esercizi vari su equazioni differenziali (con breve compendio di teoria sulle equazioni lineari del prim'ordine ed il metodo della variazione delle costanti; oltre che un richiamo sulle proprietà di sovrapposizione delle equazioni lineari). Assegnati per casa, dal libro di Demidovich: eq. variabili separate: 2744, 2748, 2750 (provare anche 2743 e 2747); eq. lineari prim'ordine: 2785, 2786, 2789, 2790; equazioni lineari del second'ordine: dal 2976 al 2990 (è possibile che mi sia sfuggito qualche caso che va oltre ciò che abbiamo studiato) (provarne anche alcuni dal 2994 al 3038).

  • 06 Feb 2024 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Funzioni in più variabili: nozione di continuità e differenza rispetto alla continuità nelle sole variabili una ad una (nozione di limite da vedere autonomamente). Cenno ai teoremi elementari (somma prodotto ecc.) per funzioni continue. Definizione di derivate parziali e direzionali, esempi. Definizione di differenziale. Enunciato del teorema del differenziale totale. Teorema sulla continuità delle funzioni differenziabili con cenno di dimostrazione, Esempio di funzione che ha le derivate parziali in un punto ma non è differenziabile in quel punto. Teorema, con dimostrazione, del fatto che le funzioni differenziabili hanno detivate parziali, che compongono il gradiente.

  • 15 Feb 2024 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Capitolo 5: alcuni elementi sugli spazi euclidei (prodotto scalare, norma e distanza euclidea, elenco di proprietà). Cenno alle definizioni generali di spazi vettoriali con prodotto scalare, spazio vettoriale normato, spazio metrico. Palla aperta, aperto, chiuso intorno. Esempio della definizione di continuità in un punto usando gli intorni. Capitolo 7: teorema del differenziale totale, con dimostrazione dettagliata.

  • 20 Feb 2024 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Elementi di topologia: punti interni e di aderenza, parte interna e chiusura, aperti e chiusi caratterizzati tramite queste nozioni, caratterizzazioni per successioni dei punti di aderenza (dimostrata una freccia), chiuso per successioni ed equivalenza. Frontiera. Curve ed archi, generali e regolari. Funzioni di più variabili: teorema sul differenziale della funzione composta, enunciato in generale, enunciato e dimostrato nel caso particolare della composizione con curve.

  • 22 Feb 2024 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Insiemi di livello, curve in essi e teorema sulla perpendicolarità del gradiente. Esempi di insiemi di livello che non sono curve. Curve grafico, definizione e loro regolarità. Esempi grafici. Teorema del Dini, con dimostrazione dettagliata. (esclusa la differenziabilità di g)

  • 27 Feb 2024 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Diverse parametrizzazioni di curve. Riparametrizzazione locale come curva grafico, di una curva regolare (con dimostrazione). Riparametrizzazione con lunghezza d'arco (velocità costante) di una curva regolare, usando come definizione di lunghezza l'integrale del modulo della velocità (con dimostrazione). Definizione generale di lunghezza di una curva continua, curve rettificabili, teorema di rettificabilità delle curve regolari, con bozza di dimostrazione.

  • 29 Feb 2024 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Insiemi connessi e connessi per archi (capitolo 5), definizioni ed enunciati principali (senza dimostrazione per ora). Integrali curvilinei. Teorema fondamentale sui campi conservativi.

  • 05 Mar 2024 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Teorema di Schwarz (senza dimostrazione, solo idea). Campi chiusi e teorema che li lega ai campi conservativi (con dimostrazione). Lemma di derivazione sotto il segno di integrale (senza dimostrazione; commenti sull'analogo risultato di continuità). Successioni di Cauchy. Spazi metrici completi.

  • 07 Mar 2024 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Principio delle contrazioni in spazi metrici completi (con dimostrazione). Esempi di spazi metrici completi: R, R^d, B(X) (questo con dimostrazione dettagliata). Usata la distanza uniforme, dimostrando che è una distanza. Continuità e uniforme continuità, legami, spazio delle funzioni continue, sue prime proprietà.

  • 14 Mar 2024 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Dal capitolo 6: Teorema sul mantenimento della continuità per limite uniforme, con dimostrazione. Completezza dello spazio delle funzioni continue e limitate (con dimostrazione). Con premessa dal capitolo 5 circa i legami tra completezza e chiusura. Circa la completezza dello spazio delle funzioni limitate, viene ripresa la dimostrazione del fatto che la fuzione limite è limitata. Equazioni differenziali: problema di Cauchy, teorema di esistenza e unicità locale. Schema di dimostrazione.

  • 09 Apr 2024 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Esercitazione sul Capitolo 5. Si suggeriscono gli esercizi n. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Svolto il 13 ed uno di quelli proposti. Si suggeriscono gli esercizi n. 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 54. Svolto in parte il 53.

  • 11 Apr 2024 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Complementi teorici: definizione di compatto per successioni in spazi metrici. Esempio di uso per teoremi di esistenza: il teorema di Weierstrass (con dimostrazione dettagliata). Esercizio: compatto per successioni implica chiuso e limitato. Il viceversa non è vero. In R^n è vero. Uno dal 5 (chiusura uguale insieme unito bordo) ed unoo dal 43 (il quarto).

  • 18 Apr 2024 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Esercizi su funzioni lipschitziane, come i primi del capitolo 7.

  • 19 Apr 2024 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Capitolo 7, esercizi proposti: 1-12, 19, 24, 34, 36, 38, 39, 40 prima parte. Tre esercizi da un compito dello scorso anno.

  • 30 Apr 2024 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Schema teoremi in dimensione qualsiasi su massimi e minimi relativi, condizioni su gradiente e matrice hessiana. Esempi. metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Esempio. Si suggeriscono gli esercizi dalla raccolta dell'anno precedente, su questi temi.

  • 02 Maggio 2024 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Fatto: Esercizio su estremi vincolati, cercando di capire graficamente se erano massimi o minimi, usando insiemi di livello. Insiemi di livello di una funzione con massimi, minimi e punti sella liberi. Teorema di esistenza e unicità per equazioni differenziali: dimostrazione.

  • 09 Maggio 2024 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Esercizi su equazioni differenziali, studio qualitativo, esistenza globale.

  • 14 Maggio 2024 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Esercizi 5.54 e 7.2 dal libro di testo.

  • 16 Maggio 2024 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Completamento esercizio 5.53. Completamento esercizio su compatto implica limitato (e quadro dei concetti). Esemplio di non compatto ma limitato e chiuso.