Didattica integrativa
Giulia Livieri
Esercitazioni
Modalità d'esame
Prova scritta e orale
Prerequisiti
Studenti del secondo anno di matematica e fisica.
Programma del corso
Introduzione alla teoria della probabilità:
Spazi di misura. Misura di Lebesgue. Misure di probabilità. Estensione di misure e teorema di Dynkin. Spazi L^p. Teorema di Radon-Nykodim e misure con densità. Misure invarianti. Variabili aleatorie discrete. Indipendenza, aspettazione condizionale.
Breve introduzione alle serie Fourier:
Spazi di Hilbert. Sistemi ortonormali, basi di Hilbert, diseguaglianza di Bessel. Completezza. Serie di Fourier. Lemma di Riemann-Lebesgue. Regolarità di funzioni periodiche e decadimento dei coefficienti di Fourier.
Sistemi dinamici:
sistemi dinamici a tempo discreto e a tempo continuo. Equazioni differenziali ordinarie, flussi, posizioni di equilibrio. Equazioni differenziali lineari. Linearizzazione di una E.D.O. Sospensione di un sistema dinamico a tempo discreto. Sistemi dinamici topologici.
Transitività, minimalità. Rotazioni irrazionali, endomorfismi espansivi della circonferenza. Schemi di Bernoulli topologici. Sistemi di funzione iterati.
Sistemi dinamici misurabili. Teorema di ricorrenza di Poincaré. Teorema di Krylov-Bogoliubov (enunciato). Teorema di Birkhoff. Operatore di Perron-Frobenius. Ergodicità, mescolamento. Teorema ergodico di Von Neumann. Automorfisimi iperbolici di tori.
Introduzione alla teoria dell'informazione:
Entropia di Shannon. Entropia relativa. Informazione mutua. Proprietà di equipartizione asintotica. Compressione dei dati.
Catene di Markov, tasso di entropia. Camminata aleatoria su un grafo. Predizione, entropia e scommesse: criterio di Kelly.
Teoria dell'informazione, codici, compressione dei dati e predizione.
Entropia e sistemi dinamici:
Entropia topologica. Entropia di Kolmogorov-Sinai. Schemi di Bernoulli. Catene di Markov. Grafi, cammini aleatori su grafi. Teorema di Perron-Frobenius. Algoritmo di page-rank di Google.
Riferimenti bibliografici
Introduzione ai sistemi dinamici (dispense che verranno distribuite agli studenti)
Shlomo Sternberg: Dynamical Systems
Cover-Thomas: Elements of Information Theory
Brin-Stuck: Introduction to dynamical systems
Hirsch-Smale-Devaney: Differential equations, dynamical systems and an introduction to chaos