Lecture
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04 Ott 2021 (2h 00m)
Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista
Introduzione alla visione assiomatica della toeria degli insiemi ed in particolare alla costruzione dei numeri naturali; assioni ZF n. 1, 2, 3, 4, 6. Definizione di successore e dell'insieme dei numeri naturali. Definizione di prodotto cartesiano e di relazione d'ordine.
07 Ott 2021 (2h 00m)
Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista
Relazioni, di equivalenza, d'ordine, funzioni, esempi e primi elementi. Relazione di equivalenza tra insiemi basata su funzioni biunivoche; relazione basata su funzioni iniettive che non è d'ordine, relazione indotta sulle classi di equivalenza. Principio d'induzione e primi elementi di dimostrazione dell'ordinamento totale.
11 Ott 2021 (2h 00m)
Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista
1) dimostrazione dettagliata dei punti 1, 2, 3 della Proposizione 1.7 (pp 14-15), loro uso per la dimostrazione dettagliata della Proposizione 1.8 (pp 14-15) (ordinamento totale di N ecc.) 2) Sezione 1.9 (assioma della scelta) 3) Sezione 1.10 fino all'enunciato del teorema 1.12 (pp 21-23) (cardinalità e teorema di Cantor-Bernstein).
18 Ott 2021 (2h 00m)
Andrea Carlo Giuseppe Mennucci - Didattica integrativa - Mista
notazioni 00B , logica 00D 00G 00J 1VY tautologie 00N proposizioni 00T variabili libere 00Q 1X1 appartenenza 1X2 1YT quantificatori 00R 016 estensionalità 1Y8 sottoinsiemi 1W0 teoria degli insiemi 01J assioma della coppia 1Y3 assioma dell'unione 1Y2 026 01M
21 Ott 2021 (2h 00m)
Andrea Carlo Giuseppe Mennucci - Didattica integrativa - Mista
formule ben formate 228 preordini e quozienti 1Z7 06J insiemi 029 assioma potenza 1Y1 unione 026 prodotto cartesiano 024 unione disgiunta 020
25 Ott 2021 (2h 00m)
Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista
Principio si induzione generalizzato (idea della dim). Successioni definite per ricorrenza (idea della dim). Insiemi finiti, loro non equipotenza, cardinalità degli insiemi infiniti, cardinalità delle parti (per ora solo enunciati). Enunciato del lemma di Zorn. Zorn implica assioma della scelta (con dimostrazione dettagliata).
28 Ott 2021 (2h 00m)
Andrea Carlo Giuseppe Mennucci - Didattica integrativa - Mista
Svolti: insiemi 023 ordinamenti 229 1Y7 067 069 funzioni 08X 08Z Proposte: funzioni 08Y relazioni 1WH ordinamenti 06C 06J ordinamento lessicografico 1WP 071 072 073
04 Nov 2021 (2h 00m)
Andrea Carlo Giuseppe Mennucci - Didattica integrativa - Mista
02D esistenza base ; da sezione 1YW sulle cardinalità 1Z9 02W 030 032 034 ; proposti 02T 03H 03R 03X 03Y 040
08 Nov 2021 (2h 00m)
Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista
Teorema di Zermelo (dim usando Zorn, unificata con quella del teorema di esistenza di un ordinamento totale); da Zermelo all'assiona della scelta. I temi del Capitolo 1 sono stati trattati tutti (si suggerisce di dare un'occhiata a brevi temi tralasciati, come l'induzione transfinita), mentre alcune dmostrazioni sono state saltate; forse verranno riprese. Operazioni ed ordinamento su N; dimostrazione solo della commutatività della somma. Definizione di Z, immersione di N, elemento neutro per la somma ed opposto, operazioni ed ordinamento su Z. Definizione di Q, immersione di Z, elemento neutro per il prodotto ed inverso, operazioni ed ordinamento su Q, struttura di campo ordinato.
11 Nov 2021 (2h 00m)
Andrea Carlo Giuseppe Mennucci - Didattica integrativa - Mista
01P funzioni parziali , 03F confronto cardinalità , 04G 04M dedekind infinito , 04J aggiungere insiemi contabili ; 07X successioni decrescenti e insiemi bene ordinati , 1Z0 successore 1Z1 è iniettivo ; 21W concatenazione di ordinamenti
18 Nov 2021 (2h 00m)
Andrea Carlo Giuseppe Mennucci - Didattica integrativa - Mista
22H non c'è spazio fra un elemento e il successore; 07V 21R 21V tipi d'ordine; 21P l'inversa è strettamente crescente; 21Q se non sono totalmente ordinati; 22P successore fra equiordinati; concatenazione di N e N; 21X concatenazione di N e insieme finito; 22F X ~ Y×N; 04R AxD = A , con soluzione 04T
22 Nov 2021 (2h 00m)
Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista
Sezioni e definizione di R. R è totalmente ordinato. Q è denso in R. R è completo. Esistenza della radice n-esima in R. (Tutte queste affermazioni sono state dimostrate). Campi ordinati F: Q immerso in F. Definizione di Archimedeo e di completo. Lemma su caratterizzazione di Archimedeo. Completo implica Archimedeo. Completamento di un campo ordinato archimedeo, corrispondenza con R. (per ora, di queste è stato dimostrato solo che completo implica archimedeo).
29 Nov 2021 (2h 00m)
Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista
Cenno delle dimostrazione che Q è omomorfo a un sottoinsieme di ogni campo ordinato. Dimostrazione delle varie equivalenze della condizione di Archimede. Capitolo 3: definizione di lim sup, sue proprietà, suo utilizzo per dimostrare che le successioni di Cauchy convergono, teorema di Bolzano-Weierstrass. Simboli di Landau, loro proprietà, principio di sostituzione. Relazioni di equivalenza e di ordine coi simboli di Landau.
02 Dic 2021 (2h 00m)
Andrea Carlo Giuseppe Mennucci - Didattica integrativa - Mista
proprietà di sup e inf 22S intervalli 07C 07D frequentemente definitivamente 070 cofinale 06P
06 Dic 2021 (2h 00m)
Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista
Teorema di Stolz, un caso dimostrato. Teorema di Cesaro per la media aritmetica, due dimostrazioni. Sommatorie infinite: motivazioni e numerabilità dei valori >0. Definizione nel caso di termini positivi. Confronto con le serie: famiglie cofinali. Definizione di convergenza. Criterio di Cauchy, dimostrazione dell'equivalenza. Equivalenza tra convergenza e convergenza assoluta.
09 Dic 2021 (2h 00m)
Andrea Carlo Giuseppe Mennucci - Didattica integrativa - Mista
proprietà di sup e inf 08T 0B6 0B7 0B9 0CP 208 20H limsup liminf 20F intorni 0B2 frequentemente e definitivamente 0B3 22X
13 Dic 2021 (2h 00m)
Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista
Confronto tra teoria delle sommatorie e teoria delle serie, sui numeri naturali, scambiabilità. Teorema sulle serie convergenti ma non assolutamente, illustrazione grafica della dimostrazione. Teorema sulla scomposizione di sommatorie su partizioni. Dimostrazione completa solo nel caso a termini positivi. Applicazione al teorema di Fubini ed al prodotto di serie. Somme di Cauchy, teorema sulla formula nel caso assolutamente convegente (con dimotrazione).
16 Dic 2021 (2h 00m)
Andrea Carlo Giuseppe Mennucci - Didattica integrativa - A distanza
confronto con Cesaro 0D9 , prodotti di Cauchy 0FH 0FK Mertens 217 0FM 0FP 1BX convergenza monotona 0G0
20 Gen 2022 (2h 00m)
Andrea Carlo Giuseppe Mennucci - Didattica integrativa - Mista
cardinalità 04Z 05J serie criteri 219 21C 21D 21F 238 0DR esercizi 214 23D 0F9 20Z prodotto lessicografico di buoni ordinamenti è buono 073
31 Gen 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista
Capitolo 5: prodotto scalare, norma e distanza euclidei, enucniato e dimostrazione delle disuguaglianze di Schwartz e triangolare, illustrazione prospettica del fatto che certi set di proprietà (di prodotto scalare, norma e distanza) fungeranno da assiomi di strutture topologiche. Palle, intorni e aperti, parte interna e chiusura, caratterizzando le varie nozioni (inclusi i punti di aderenza). Ancora da fare frontiera, caratterizzazione tramite successioni, punti di accumulazione.
03 Feb 2022 (2h 00m)
Andrea Ferraguti - Didattica integrativa - Mista
Esercizi su topologia di R^n
07 Feb 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista
Spazi topologici, a perti ed intorni, continuità in un punto, teorema di caratterizzazione della continuità. Composizione di funzioni continue e omeomorfismo di spazi topologici. Successioni in spazi topologici e ruolo della separabilità. Sistema fondamientale di intorni, primo assioma di numerabilità, sua versione con intorni incapsulati. Caratterizzazione della continuità tramite successioni, evidenziando il ruolo del primo assioma di numerabilità. Uso delle successioni per caratterizzare i punti aderenti, di accumulazione e gli insiemi chiusi, sempre evidenziando il ruolo del primo assioma di numerabilità. Varie definizioni ancora non svolte, come frontiera, punti di accumulazione ed isolati, derivato.
10 Feb 2022 (2h 00m)
Andrea Ferraguti - Didattica integrativa - Mista
Esercizi su spazi topologici
14 Feb 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista
Punti limite di successioni, caratterizzazione, esistenza di una successione con punti limite predeterminati (cenno di dimostrazione). Spazi metrici, definizione anche di premetrica e metrica sullo spazio quoziente. Valgono tuttele proprietà degli spazi topologici. Uniforme continuità: legame con la continuità. Teorema di estensione di funzioni uniformemente continue. In esso si usa l'ipotesi di completezza dello spazio di arrivo. Discussione sulla completezza, legame con la chiusura. Teorema di completamento, isometrie. Dimostrazione di alcune affermazioni, traccia generale.
17 Feb 2022 (2h 00m)
Andrea Ferraguti - Didattica integrativa - Mista
Esercizi su spazi metrici
21 Feb 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista
Compattezza in spazi topologici, olegame con la chiusura ed altre piccole proprietà. Teorema di Weierstrass. Comapttezza sequenziale in spazi metrici e legme con la precedente, oltre che con totale limitatezza e completezza (svolte tutte le dimostrazioni). Enunciato del teorema di Heine-Cantor (si consiglia di fare per esercizio la dimostrazione per assurdo, usando la compattezza sequenziale).
24 Feb 2022 (2h 00m)
Andrea Ferraguti - Didattica integrativa - Mista
Esercizi su compattezza
03 Mar 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista
Rifinitura di vari dettagli rimasti prima del paragrafo sulla connessione: - Def di Lipschitziane, Holderiane, isometrie, ricordando che le ultime si usano nel teorema di completamento; di cui viene ora dimostrata la densità e impostata la completezza. (facoltativi i ragionamenti su Q e completamento di spazi vettoriali. Facoltativa la lettura dell'unuciato di Baire). - Affermazione mancante sul legame tra compattezza e chiusura; enunciato sulla compattezza dello spazio prodotto, dimostrazione del viceversa. Caratterizzazione della compattezza in R^n (riassuntiva di varie proprietà dimostrate). Dimostrazione di Heine-Cantor. Viene poi svolta interamente la sezione sulla connessione.
08 Mar 2022 (2h 00m)
Andrea Ferraguti - Didattica integrativa - Mista
Esercizi su connessione
10 Mar 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista
Convergenza uniforme e convergenza puntuale di funzioni, legame e controesempio. Continuità del limite uniforme di funzioni continue. Su B(E), distanza che descrive la convergenza uniforme, relativo teorema. E' una metrica. Norma associata, spazio vettoriale normato. Completezza di B(E) e di C_b(E). Sono spazi di Banach. Esistena del limite in un punto per la funzione limite uniforme. Enunciato del teorema sull'esistenza della derivata per la funzione limite (limite uniforme delle derivate), che verrà dimostrato successivamente.
14 Mar 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista
Serie di funzioni, varie convergenze. Teorema su equivalenza, in spazi vettoria normati, tra completezza ed il criterio di convergenza totale. Teorema di Weierstrass. Teorema sulla derivabilità della funzione limite. Serie di potenze, generalità e teorema sul raggio di convergenza, coi suoi preliminari dimostrati. Derivabilità di una serie di potenze, formula per i coefficienti. Due definizioni di funzione analitica e loro equivalenza.
17 Mar 2022 (2h 00m)
Andrea Ferraguti - Didattica integrativa - Mista
Esercizi su convergenza puntuale e uniforme
21 Mar 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista
Funzioni analitiche, generalità, teorema sul fatto che le serie di potenze lo sono, vera località dello sviluppo, teorema di prolungamento. Derivabilità parziale e differenziabilità, legami.
24 Mar 2022 (2h 00m)
Andrea Ferraguti - Didattica integrativa - Mista
Esercizi su convergenza assoluta e serie di potenze
28 Mar 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista
Resto integrale della formula di Taylor Teorema del Dini e sue prime conseguenze. Curve ed archi, regolari, definizione di lunghezza d'arco.
31 Mar 2022 (2h 00m)
Andrea Ferraguti - Didattica integrativa - A distanza
Esercizi su funzioni analitiche.
11 Apr 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - Mista
Equivalenza di curve, curve grafico, teorema sull'equivalenza locale con curve grafico. Lunghezza di una curva: dimostrazione completa della formula integrale nel caso delle curve regolari. Curve regolari a tratti. Integrali curvilinei di campi vettoriali. Teorema di caratterizzazione dei campi conservativi, tramite integrali curvilinei. Cenno (senza dimostrazione) a formula di scambio per le derivate seconde e formula di derivazione della funzione composta. Osservazione: se un campo è conservativo, allora è chiuso. Theorema sui campi chiusi in domini convessi. Iniziao della dimostrazione.
21 Apr 2022 (2h 00m)
Andrea Ferraguti - Didattica integrativa - A distanza
Esercizi su differenziabilità
28 Apr 2022 (2h 00m)
Andrea Ferraguti - Didattica integrativa - A distanza
Esercizi su funzione implicita
02 Maggio 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza
Equazioni differenziali: definizioni varie, inclusa quella dettagliata di soluzione locale e soluzione massimale del problema di Cauchy. Equazioni a variabili separate, metodo risolutivo, esempio senza unicità.
09 Maggio 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza
Teorema delle contrazioni. Teorema di Cauchy Lipschitz. Esempi di non esistenza e non esistenza globale.
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