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Krylov Subspace Methods

Registro delle lezioni

Anno accademico 2021/2022
Docente Michele Benzi

Lecture

  • 02 Mar 2022 (2h 00m)

    Michele Benzi - Corso (attività didattica) - In presenza

    Presentazione del corso. Potenze e polinomi di matrici. Matrici normali e non. Richiami sui metodi iterativi stazionari per sistemi lineari. Sottospazi di Krylov e approssimazioni polinomiali.

  • 09 Mar 2022 (2h 00m)

    Michele Benzi - Corso (attività didattica) - Mista

    Metodi di proiezione sui sottospazi di Krylov: metodi di tipo Galerkin e Petrov-Galerkin. Esistenza e unicita` delle approssimazioni, proprieta` di ottimalita`. Polinomi di Chebyshev e convergenza dei metodi di tipo CG basati sulla minimizzazione della A-norma dell'errore sul sottospazio di Krylov.

  • 16 Mar 2022 (2h 00m)

    Michele Benzi - Corso (attività didattica) - Mista

    Stime sulla A-norma dell'errore nel metodo CG e sulla 2-norma del residuo nel metodo MinRes. Stime asintotiche. Esempio: convergenza di MinRes per il problema di Stokes. Il caso non-normale: impossibilita` (in generale) di ottenere stime della norma del residuo basate esclusivamente sugli autovalori (costruzione di Greenbaum-Ptak-Strakos). Stime basate sul Teorema di Bendixson (Elman) e cenni all'uso di stime basate sul codominio numerico ("field of values").

  • 06 Apr 2022 (2h 00m)

    Michele Benzi - Corso (attività didattica) - Mista

    La procedura di Arnoldi. Lucky breakdown nel metodo di Arnoldi. Il metodo FOM per la soluzione di sistemi lineari. Costo computazionale e di memoria. Monitoraggio della norma del residuo. Tecnica del restart.

  • 13 Apr 2022 (2h 00m)

    Michele Benzi - Corso (attività didattica) - Mista

    Il metodo GMRES di Saad e Schultz. Convergenza del metodo con la tecnica del restart nel caso di matrici definite postive. Il caso simmetrico: l'algoritmo di Lanczos. Ricorrenza a tre termini e connessione con i polinomi ortogonali (algoritmo di Stieltjes).

  • 20 Apr 2022 (2h 00m)

    Michele Benzi - Corso (attività didattica) - Mista

    Metodi di Lanczos e Arnoldi per funzioni di matrici (cenni). Il metodo dei gradienti coniugati. Teorema di Faber e Manteuffel (senza dimostrazione). I metodi CGNR e CGNE per i sistemi rettangolari.

  • 27 Apr 2022 (2h 00m)

    Michele Benzi - Corso (attività didattica) - Mista

    Convergenza di GMRES. Analisi basata sul codominio numerico (numerical range, o field of values) della matrice. Polinomi di Faber. Teoremi di Crouzeix e Crouzeix-Palencia (solo enunciato), Teoremi di Beckermann, stima del residuo per GMRES.

  • 04 Maggio 2022 (2h 00m)

    Michele Benzi - Corso (attività didattica) - Mista

    Generalita` sulle tecniche di precondizionamento. Precondizionatori basati su splitting (Jacobi, Gauss-Seidel, SSOR, varianti a blocchi e con overlap). Fattorizzazione incompleta di Cholesky. Condizioni di esistenza. Il metodo del gradiente coniugato precondizionato (PCG).

  • 25 Maggio 2022 (2h 00m)

    Michele Benzi - Corso (attività didattica) - Mista

    Tecniche di precondizionamento per grandi sistemi lineari provenienti dalla discretizzazione di PDE. Lezione tenuta dal Prof. Andrew Wathen (Universita` di Oxford).

  • 06 Giu 2022 (2h 00m)

    Michele Benzi - Corso (attività didattica) - Mista

    I precondizionatori ILUT, SPAI, FSAI e AINV. Precondizionatori polinomiali. Osservazioni sulle proprieta` di decadimento degli elementi del'inversa di una matrice a banda o sparsa.

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