Lecture
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15 Feb 2022 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
lezione in aula e trasmessa su teams: introduzione alla seconda parte del corso: frazioni continue, problemi di piccoli divisori, dinamica olomorfa, equazioni coomologiche e sistemi dinamici. Dinamica simbolica. Mappa di Gauss e frazioni continue. Quozienti parziali. Convergenti. Enunciato del teorema di Lagrange. Enunciato del teorema di migliore approssimazione.
16 Feb 2022 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
lezione in aula e anche trasmessa su teams: dimostrazione del teorema di Lagrange. Dimostrazione del teorema della migliore approssimazione. Frazione continua del numero di Nepero (senza dimostrazione). Numero di Liouville. Definizione di numeri diofantei e di numeri di Liouville.
22 Feb 2022 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
lezione in aula e anche trasmessa su Teams: Dimostrazione che i numeri di Liouville hanno misura nulla e i numeri diofantei misura piena. Teorema di Liouville con dimostrazione. Caratterizzazione dei numeri diofantei di esponente dato mediante la crescita asintotica dei quozienti parziali. Spazi ultrametrici. Completamento dell’anello dei polinomi rispetto alla valutazione z-adica. Anello delle serie formali. Anello delle serie di potenze convergenti. Sfera di Riemann: automorfismi e endomorfismi. Insiemi di Fatou e di Julia. Esempio: z^2. Insieme di Julia riempito. Definizione dell’insieme di Mandelbrot.
23 Feb 2022 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
lezione in aula e anche trasmessa su Teams: inversione di una serie formale. Equivalenza di linearizzabilità e stabilità per un punto fisso di un sistema dinamico olomorfo. Linearizzabilità formale e analitica di un germe. Condizione necessaria e sufficiente per la linearizzabilità di un germe risonante. Esistenza della linearizzazione formale per germi non risonanti. Teorema di Koenigs-Poincaré e sua dimostrazione. Piccoli divisori.
02 Mar 2022 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
lezione in aula e anche trasmessa su Teams: Controesempi di Cremer: costruzione mediante accumulo di orbite periodiche e costruzione mediante la ricorrenza dell’applicazione linearizzante. Accumulo di piccoli divisori e possibile divergenza della serie. Enunciato del teorema di Siegel-Brjuno. Numeri di Brjuno. Enunciato del teorema di Yoccoz.
08 Mar 2022 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
lezione in aula e anche trasmessa su Teams: Enunciato del teorema di inversione di Lagrange per funzioni analitiche (e per serie formali). Classificazione dinamica degli automorfismi della sfera di Riemann. Coomologia di gruppi. Coomologia dei sistemi dinamici: cocatene, cobordi, gruppi di coomologia.
09 Mar 2022 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
lezione in aula e anche trasmessa su teams: Fattori automorfi e coomologia "twisted" di sistemi dinamici. Linearizzazione dell'equazione di coniugazione e equazione coomologica twisted. Condizione diofantea ed equivalenza con la risolubilità dell’equazione coomologica per le rotazioni irrazionali con dato di classe C-infinito. Enunciato nel caso analitico.
15 Mar 2022 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
Lezione in aula e trasmessa su Teams: Dimostrazione dell’equivalenza tra analiticità delle soluzioni dell’equazione coomologica per rotazioni irrazionali e condizione di limite nullo per il rapporto (log q(n+1))/q(n). Cocicli e skew-products. Soluzioni formali delle equazioni coomologiche twisted con serie di Birkhoff twisted. Enunciato del teorema di Gottschalk-Hedlund.
22 Mar 2022 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
Lezione in aula e su Teams: Dimostrazione del teorema di Gottschalk-Hedlund. Costruzione dei controesempi di Furstenberg (sistemi dinamici sul toro bidimensionale minimali ma non ergodici).
23 Mar 2022 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
lezione in aula e trasmessa su Teams: Dimostrazione del teorema di Siegel-Brjuno.
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