Didattica integrativa
Esercitazioni
Modalità d'esame
Prova orale
Prerequisiti
Il corso è rivolto agli studenti del IV-V anno che abbiano conoscenza del linguaggio di base della geometria algebrica classica. E' consigliabile, ma non strettamente necessario, aver seguito un corso di teoria algebrica dei numeri.
Programma del corso
- Richiami di geometria algebrica. Teorema di Riemann-Roch.
- Equazione di Weierstrass di una curva ellittica. Invarianti. Forma di Legendre. Legge di gruppo in modo geometrico, aritmetico e via divisori.
- Isogenie ed anello degli endomorfismi. Moltiplicazione complessa. Il paring di Weil.
- Richiami di teoria di Galois. Gruppi profiniti. Il modulo di Tate. Il teoremi di Faltings e di Serre.
- Curve ellittiche su campi finiti. La funzione zeta e le congetture di Weil.
- Gruppi formali.
- Richiami di teoria dei numeri. Campi locali e campi globali.
- Curve ellittiche su campi locali. Buona e cattiva riduzione. Il criterio di Neron-Ogg-Shafarevich.
- Coomologia di Galois e sequenza di Kummer.
- Il teorema di Mordell-Weil debole.
- Altezze su spazi proiettivi. La procedura di discesa. Dimostrazione del teorema di Mordell-Weil.
- Punti interi e teorema di Nutz-Nagell.
- Cenni su argomenti avanzati.
Riferimenti bibliografici
- J. Silverman, "The arithmetic of elliptic curves"
- D. Husemöller, "Elliptic curves"