Didattica integrativa
Esercitazioni
Modalità d'esame
Relazione di seminario
Prerequisiti
Il corso di Elementi di Probabilità (II anno) è un ovvio prerequisito. Tuttavia è necessario conoscere vari argomenti meglio trattati nel corso denominato "Probabilità" del Corso di Laurea in Matematica dell'Università di Pisa, corso del III anno, quindi
parallelo a questo. Pertanto, visto che il corso di "Probabilità" si svolge nel primo semestre,
il corso qui descritto inizierà in novembre in modo da potersi accodare all'altro, prestando attenzione a non anticipare materiale
dell'altro corso.
Programma del corso
Processi di Markov
- Richiami sulle catene di Markov
- Definizioni e prime proprietà dei processi di Markov a tempo continuo e salti
- Generatore infinitesimale, esempi
- Costruzione di processi di Markov a salti
- Alcuni elementi di teoria delle martingale
- Formula di Dynkin, applicazioni
- Entropia, convergenza all'equilibrio, forma di Dirichlet.
Possibili approfondimenti: un esempio di limite di scala.
Teoria delle grandi deviazioni
- Definizioni e risultati preliminari, incluso il principio di contrazione
- Risultati relativi a variabili i.i.d., Chernoff bounds
- Entropia e grandi deviazioni.
Possibili approfondimenti: grandi deviazioni e meccanica statistica.
Coupling & mixing time
- La distanza di variazione totale via coupling
- Convergenza di catene di Markov e mixing time
- Esempi di stime dall’alto per il mixing time usando coupling
- Path coupling (e il mixing time di SSEP)
- Alcune stime dal basso per il mixing time
Possibili approfondimenti: metodi spettrali e il relaxation time; coupling non markoviani; la tecnica del coupling from the past; mixing time in tempo continuo.
Processi di diramazione
- Processi di diramazione e probabilità di sopravvivenza
- La progenie totale e la cardinalità delle generazioni
- Interpretazione in termini di passeggiate aleatorie
- Il caso supercritico e il teorema di Kesten-Stigum
- Processi di diramazione Poisson, binomiali, geometrici e applicazioni agli alberi combinatori
- Applicazioni ai grafi aleatori: Erdős–Rényi, la transizione di fase e la componente gigante
Possibili approfondimenti: il size-biasing e i limiti locali; la criticalità e i limiti di scala; approfondimenti su Erdős–Rényi (stime di grandi deviazioni e funzioni soglia).
Riferimenti bibliografici
Appunti forniti dal docente