Gruppo di ricerca in Analisi complessa e Geometria analitica

Gruppo di ricerca in Analisi complessa e Geometria analitica

Analisi Complessa e Geometria analitica. Geometria delle varietà CR, varietà Levi piatte. e problemi non lineari relativi. Inviluppi d'olomorfia e problema di Levi. Struttura degli spazi complessi debolmente pseudocompleti.

Aree e temi di ricerca

A) Esistenza di catene olomorfe e di varietà Levi piatte con bordo assegnato, nel contesto delle strutture complesse e, più in generale, in quello delle strutture quasi complesse.

Le varietà Levi piatte con bordo assegnato intervengono nello studio dell’inviluppo d'olomorfia di sottovarietà reali di uno spazio complesso. Le ricerche in merito si sono sviluppate principalmente nel caso in cui la varietà ambiente sia una varietà di Stein di dimensione due. Il metodo seguito è quello dei “dischi analitici” di Bishop e quello basato sul Teorema di compattezza per le curve J-olomorfe di Gromov. Recentemente il problema è stato studiato nel contesto delle strutture quasi complesse, non calibrate, su R4. Il problema geometrico è stato tradotto in un problema di Dirichlet per una equazione quasi-lineare, ellittica degenere, l’equazione di Levi per le strutture quasi complesse. Il teorema di esistenza si ottiene avvalendosi di tecniche di regolarizzazione per le soluzioni deboli viscose dell'operatore di Levi piuttosto sofisticate.
Nel caso in cui la varietà ambiente sia di dimensione complessa >2, a differenza del caso precedente, il problema è sovradeterminato. Risultati ancora non pubblicati sono stati di recente ottenuti per lo spazio in C3.

B) Esistenza di ipersuperficie Levi piatte di cui si assegni una parte della frontiera.

È un tema di ricerca molto recente. Risultati parziali.sono stati dimostrati per lo spazio C2. Essi sono di particolare interesse e possono essere considerate una prima tappa di una “teoria dei domini di esistenza” per le ipersuperficie Levi piatte.

C) Struttura geometrica degli spazi complessi debolmente completi.

Lo studio della struttura geometrica di uno spazio complesso X “debolmente completo” i.e. che ammette una funzione d’esaustione debolmente plurisubarmonica. presenta notevoli difficoltà anche se X ha dimensione 2. Esso dà luogo a vari problemi di esistenza su X di oggetti analitici globali (funzioni olomorfe, sottospazi complessi, ipersuperficie Levi piatte ecc..) Risultati preliminari sono stati ottenuti recentemente nell'ipotesi in cui (X abbia dimensione 2 e) la funzione plurisubarmonica d’esaustione sia analitica reale. Si tratta di un’ipotesi molto forte e non sono note condizioni sufficienti che ne garantiscano l'esistenza.

D) Esistenza dell’inviluppo d’olomorfia per aperti di spazi complessi e problema di Levi.

È un classico della Teoria delle funzioni di più variabili complesse. Gli ultimi risultati significativi risalgono all'inizio degli anni ‘60.

E) Evoluzione di sottoinsiemi compatti di C2 e di CP2 secondo la forma di Levi.

Tra le motivazioni alla base delle ricerche sul tema in oggetto c'è, da un lato la possibilità di ottenere "per via analitica" informazioni sui vari inviluppi di un compatto K , dall'altro l'analisi delle singolarità che possono essere ottenute per evoluzione, partendo da insiemi regolari. La problematica è strettamente connessa con quella relativa al tema A). Si dimostra infatti che l'evoluzione secondo la forma di Levi di un grafico ∑ in C2 C(su un dominio D di CxR), che lasci fisso il bordo b∑ di ∑ ha come varietà limite l'ipersuperficie Levi piatta con bordo b∑.