Funzioni ellittiche e modulari

Data inizio: 
Martedì, 19 Settembre 2017
Data fine: 
Venerdì, 25 Maggio 2018
Ore totali: 
40
Ore totali docenti responsabili: 
40
MODALITA' DELL'ESAME
Prova orale
PREREQUISITI E ANNI DI CORSO PER CUI E' CONSIGLIATO

Si richiede la conoscenza dell'analisi complessa elementare e topologia elementare. 
Il corso e' adatto agli studenti del III anno, ma e' assolutamente accessibile (almeno in gran parte) a studenti interessati del II anno, e utile presumibilmente anche a studenti piu' anziani e perfezionandi interessati.

Programma

FUNZIONI ELLITTICHE E MODULARI
- Funzioni meromorfe doppiamente periodiche; Teoremi di Liouville; funzione di Weierstrass; teorema di addizione.
- Funzioni ellittiche e curve ellittiche complesse; classi di isomorfismo; endomorfismi e automorfismi; punti di ordine finito. Isogenie. Moltiplicazione complessa.
- Il gruppo modulare: dominio fondamentale, generazione.
- Funzioni e forme modulari; serie di Eisenstein; la forma modulare $ Delta$ e le curve ellittiche; spazi ed algebre di forme modulari di peso assegnato.
- L'invariante modulare j. Invarianti singolari e valori speciali; equazione modulare.
- Sviluppi di Fourier; ordine di grandezza dei coefficienti di Fourier di una forma modulare.
- Funzioni zeta. sigma, ed espansioni in prodotto infinito. Funzioni theta.
- Operatori di Hecke, prodotto scalare di Petersson, autofunzioni.
- Cenni su sottogruppi di congruenza del gruppo modulare; il problema dei sottogruppi di congruenza.
- Forme modulari con livello. Applicazioni aritmetiche a problemi additivi.
 

Riferimenti bibliografici

J-P. Serre, Cours d'arithmetique
S. Lang, Elliptic functions