Metodi matematici per la chimica

Data inizio: 
Lunedì, 4 Dicembre 2017
Data fine: 
Lunedì, 28 Maggio 2018
Ore totali: 
25
Ore totali docenti responsabili: 
20
Ore totali docenti di didattica integrativa: 
5
MODALITA' DELL'ESAME
Prova scritta e orale
PREREQUISITI E ANNI DI CORSO PER CUI E' CONSIGLIATO

III anno

Programma

- Spazi vettoriali, basi, dimensione. Spazi vettoriali normati. Norme equivalenti. Operatori lineari. Esempi: spazi di successioni l^p, spazi funzionali C^k, L^p. Varie norme su R^n. Distanza indotta dalla norma.
- Successioni e limiti in spazi metrici. Sottoinsiemi densi, sottoinsiemi compatti. Operatori lineari continui. Successioni di Cauchy in uno spazio metrico, completezza. Spazi di Banach. Spazi C^0, l^p, L^p, B(V_1,V_2).
- Prodotti interni. Lemma di Schwarz. Sistemi ortonormali, procedimento di Gram-Schmidt. Lemma di Bessel. Spazi di Hilbert. Basi di Hilbert (vs. basi di spazi vettoriali). Spazi di Hilbert separabili. Esempi: l^2, L^2, basi di Fourier. Proiezioni su sottospazi chiusi e decomposizioni ortogonali di uno spazio di Hilbert. Criteri per la completezza di una base.
- Convergenza L^2 vs. convergenza puntuale. Convergenza di serie di Fourier: criteri per la convergenza puntuale, uniforme. Criteri per la derivabilita' di una funzione in termini dei suoi coefficienti di Fourier.
- Teorema di rappresentazione di Riesz. Formalizzazione della QM in termini di spazi di Hilbert e operatori lineari autoaggiunti. Esempi di equazione di Schroedinger. Soluzioni speciali tramite autovettori dell'operatore di Schroedinger.
- Operatori continui. Aggiunto e operatori autoaggiunti. Operatori compatti. Operatori integrali. Autovalori, autovettori. Spettro, insieme risolvente. Teorema spettrale per operatori autoaggiunti compatti.  Cenni su spazi di Sobolev. Teorema di Lax-Milgram e problemi ai limiti.Operatori di Sturm-Liouville.Soluzioni esplicite di equazioni alle derivate parziali tramite separazione di variabili. 

Riferimenti bibliografici

Introduction to Hilbert spaces, Debnath and Mikusinski.
Functional Analysis, Brezis.
Functional Analysis voll I, II, Reed and Simon.
Mathematics of Classical and Quantum Physics, Brown and Fuller, voll I, II