Geometria e topologia - III Lezione

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Prof. Bruno Martelli, Università di Pisa
Geometria e topologia

Secondo la relatività generale di Einstein, lo spazio-tempo è uno "spazio 4-dimensionale" con una geometria che, a causa della sua "curvatura", non ubbidisce agli assiomi di Euclide. Per formalizzare queste nozioni profonde che avrebbero rivoluzionato la fisica del Novecento, Einstein utilizzò nel 1915 gli strumenti più avanzati della geometria differenziale disponibili in quel tempo, introdotti prima da Gauss, poi da Riemann, e quindi dai contemporanei Ricci e Levi-Civita. La nozione rigorosa di "spazio n-dimensionale" che usiamo oggi è stata infine definita successivamente ai lavori di Einstein, dal matematico Whitney nel 1935.

In queste lezioni studieremo la nozione di "spazio curvo n-dimensionale", un concetto che i matematici chiamano "varietà" e che ha avuto bisogno di un intero secolo - da Gauss nel 1827 fino a Whitney nel 1935 - per ottenere una formalizzazione rigorosa. Oltre ai matematici già citati, un contributo fondamentale è stato dato anche da Poincaré, che nel 1895 definisce quella che oggi è chiamata "topologia", una branca importante della geometria che studia le forme degli oggetti.

Vedremo come gran parte della ricerca attuale in geometria si concentri nello studio di questi oggetti curvi n-dimensionali. Studieremo come costruire dei modelli di geometrie non Euclidee, come il "piano iperbolico".

Illustreremo infine la nota Congettura di Poincaré, formulata da Poincaré nel 1904, che sostiene che "una varietà 3-dimensionale senza buchi è una sfera". La congettura è stata risolta da Perel'man nel 2002.

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