Probability on graphs
Prerequisiti
Il corso è consigliato a partire dal quarto anno del corso ordinario, a cui si adatta per i prerequisiti tecnici molto limitati. Tuttavia, è indicato anche per studenti del corso di perfezionamento per i contenuti vicini a temi di ricerca attuali.
I prerequisiti consistono nel corso di Elementi di Probabilità e Statistica e nel corso di Probabilità; può essere utile ma non è indispensabile qualche conoscenza più avanzata di processi stocastici (catene di Markov a tempo discreto e continuo, vettori Gaussiani, moto Browniano) dai corsi di Processi Stocastici o Istituzioni di Probabilità, e qualche conoscenza estremamente basilare riguardo le funzioni armoniche su R^n.
Programma
Il corso esplorerà vari aspetti del comportamento di processi aleatori su grafi, ponendo l'accento sulla sinergia fra argomenti probabilistici e combinatorici nel dare alla luce rislutati sorprendenti e ricchi di applicazioni.
I principali temi trattati saranno:
- Passeggiate aleatorie su grafi e loro comportamento a lungo termine; l'analogia con la teoria delle reti elettriche, il teorema di Pólya, il problema del tipo;
- Un dialogo fra discreto e continuo: teorema di Donsker, funzioni di Green, misura armonica e moto Browniano;
- Il campo libero gaussiano discreto;
- Uniform spanning tree e uniform spanning forest: algoritmo di Wilson, matrix-tree theorem, limiti locali;
- Percolazione e temi collegati;
- Mixing time di catene di Markov.
Obiettivi formativi
Alla fine del corso, gli studenti avranno familiarità con vari oggetti centrali nella probabilità discreta moderna e contemporanea (passeggiate aleatorie, GFF, UST, passeggiate autoevitanti, percolazione); avranno appreso alcune delle più importanti tecniche dimostrative e saranno in grado di svolgere esercizi non banali; il corso vuole costituire una buona introduzione anche per chi desideri incominciare ad avvicinarsi alla ricerca su questi temi.
Riferimenti bibliografici
- Grimmett G. Probability on Graphs: Random Processes on Graphs and Lattices. 2nd ed. Cambridge University Press; 2018.
- Lyons R, Peres Y. Probability on Trees and Networks. Cambridge University Press; 2017.