Quantum Information Theory
Prerequisiti
Conoscenza di base della Meccanica Quantistica, in particolare:
- Formalismo degli stati e operatori in spazi di Hilbert
- Evoluzione unitaria e misure quantistiche (osservabili, valori attesi)
- Stati puri e misti
- Principio di sovrapposizione e principio di indeterminazione
- Esempi fondamentali (spin-½, oscillatore armonico, pozzetto infinito)
Elementi di Algebra Lineare, in particolare:
- Spazi vettoriali complessi e basi ortonormali
- Prodotto scalare, norme e operatori lineari
- Autovalori, autovettori e diagonalizzazione
- Operatori hermitiani e unitari
- Traccia, determinante e matrice densità
Programma
1. Intro, Strumenti matematici
(a) Intro alla teoria dell'Informazione Quantistica
(b) dal Bit al Qubit.
(c) Elementi di Algebra lineare
2. Stati
(a) Matrici densita' ed ensembles
(b) Decomposizione di Schmidt
(c) Matrici densita' ridotte e purficazione degli stati
(d) La sfera di Bloch
3. Misure
(a) Formalismo POVMs
(b) Teoema di Naimark
(c) Impossibilita' di discriminare stati non ortogonali
(d) Teorema di Helstrom
(e) Tomografia quantistica degli stati
4. Distanze tra stati
(a) distanza di Kolmogorov per distribuzioni
(b) La distanza traccia
(c) Fidelity
(d) Teorema di Uhlmann
5. Teoria dei sistemi aperti
(a) Proprieta' di base
(b) Rappresentazioni di Kraus e Stinespring delle mappe CPT
(c) CP vs P
(d) Contrattivita' e non-invertibilita' delle mappe CPT
(e) Esempi di mappe: trasformazioni locali, LOCC e separabili
(f) Mappe per Qubit
6. Teoria dell' Entanglement
(a) Entanglement per stati puri
(b) Entanglement per stati misti
(c) Localita' e Realismo
(d) Paradosso EPR e toeria delle variabili nascoste, diseguaglianze di Bell (CHSH), limite di Tsirelson, PR-Boxes
(e) Gli stati GHZ e entanglement multipartito
(f) Criteri di separabilita'
(g) Criterio della Trasposta parziale e stati PPT; Reduction criteria, criterio di maggiorizzazione, Entanglement Witnesses
(h) Misure di Entanglement
7. Macchine Impossibili e macchine possibili
(a) Quantum Teleportation, Superdense Coding, Entanglement Swapping
(b) Macchine impossibili: Q-Bell telephone, Q-copier (No cloning theorem), Classical Teleportation, Joint-Measurement Machine
8. Teoria della Computazione quantistica
(a) Modelli classici di computazione: The Turing Machine, Universal and Probabilistici TMs, Complexity classes, The Church-Turing Thesis, The Gate Array Model, Universal Gate sets,Reversible vs Non-reversible gates
(b) Il principio di Landauer Principle e connessioni con il secondo principio della termodinamica
(c) Quantum Gates: One-qubit gates, Generalized Euler decomposition, Universal sets and Approximate universal sets for one qubit,Two-qubit gates: C-NOT, C-U from C-NOT, U(N) from C-NOT gates, teorema di Gottesman-Knill
(d) Quantum Supremacy
(e) Quantum Parallelism
9. Algoritmi Quantistici
(a) Deutch-Jozsa Algorithm
(b) Berenstein-Vazirani Algorithm
(c) Simon Algorithm
(d) Quantum Fourier Transfrom
(e) Period Finding Algorithm
(f) Shor Algorithm
(g) Grover Algorithm
10. Teoria della correzione degli errori quantistica
(a) Intro
(b) 3 qubit code for Bit-Flip errors and Phase-Flip errors (c) 9 qubit code for all 1-qubit errors
(d) Knill-Laflamme theorem
(e) Stabilizer formalism
11. Crittografica quantistica
(a) Private key vs. public key algorithms, One-time Pad, Shor algorithm vs RSA
(b) Quantum Key distribution protocols: BB84 protocol, B92 protocol, Ekert protocol
Obiettivi formativi
Sviluppare una solida base matematica
Fornire agli studenti gli strumenti fondamentali di algebra lineare e teoria della probabilità necessari per formalizzare i concetti dell’informazione quantistica, inclusi spazi di Hilbert, operatori e rappresentazioni degli stati.
Comprendere stati e misure quantistiche
Permettere agli studenti di descrivere, analizzare e manipolare stati quantistici (puri e misti), comprendere la teoria delle misurazioni (POVM, misure proiettive) e applicare teoremi fondamentali come quelli di Naimark e Helstrom.
Esplorare la struttura e la dinamica degli stati quantistici
Insegnare agli studenti a caratterizzare sistemi quantistici mediante stati ridotti, purificazioni e rappresentazioni sulla sfera di Bloch, e a comprendere le dinamiche dei sistemi aperti (operatori di Kraus, mappe CP).
Quantificare e classificare le risorse quantistiche
Fornire strumenti per distinguere e quantificare stati quantistici tramite distanze (distanza di traccia, fedeltà) ed esplorare il significato operativo di tali quantità.
Approfondire la teoria dell’entanglement
Introdurre gli studenti alla teoria dell’entanglement, dai sistemi bipartiti a quelli multipartiti, affrontando misure di entanglement, criteri di separabilità (PPT, riduzione) e test fondamentali della non-classicità come le disuguaglianze di Bell.
Analizzare la realizzabilità delle operazioni quantistiche
Addestrare gli studenti a distinguere tra operazioni fisicamente realizzabili e proibite (es. teletrasporto quantistico vs. no-cloning), rafforzando la comprensione dei vincoli fondamentali della teoria quantistica.
Apprendere i principi del calcolo quantistico
Familiarizzare gli studenti con i modelli di computazione quantistica, la teoria della complessità e i vincoli fisici (principio di Landauer), nonché con l’architettura di porte quantistiche e circuiti.
Applicare e valutare algoritmi quantistici
Permettere agli studenti di comprendere, implementare e analizzare le prestazioni dei principali algoritmi quantistici, come quelli di Shor, Grover e Simon, evidenziando il confronto con gli algoritmi classici.
Comprendere la correzione d’errore quantistica
Introdurre i principi della computazione quantistica fault-tolerant e dei codici di correzione d’errore quantistici, inclusi il formalismo degli stabilizzatori e le condizioni di Knill-Laflamme.
Esplorare la crittografia quantistica e la sicurezza
Fornire una comprensione dei protocolli crittografici quantistici e del loro rapporto con i concetti classici di sicurezza, mettendo in evidenza come la meccanica quantistica possa potenziare o limitare la comunicazione sicura.
Favorire il pensiero critico e l’orientamento alla ricerca
Sviluppare la capacità degli studenti di analizzare criticamente le ipotesi e le implicazioni dei protocolli di informazione quantistica, collegando i principi fondamentali con i temi della ricerca avanzata.
Riferimenti bibliografici
- M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation And Quantum Information (Cambridge Un. Press 2000)
- J. Preskill, Lecture notes on Quantum Information and Computation http://www.theory.caltech.edu/people/preskill/ph229/notes/book.ps
- B. Schumacher and M. Westmoreland, Quantum Processes Systems, and Information (Cambridge Un. Press 2010)