Matematica per biologi

Equazioni differenziali ordinarie

• richiami sui risultati principali visti al primo anno (problema di Cauchy, teorema di Cauchy-Lipschitz, soluzioni massimali, Lemma di Gronwall, criteri di esistenza globale)
• richiami su metodi risolutivi espliciti (equazioni a variabili separate, alcune equazioni lineari) e sullo studio qualitativo
• comportamento asintotico, stabilità e instabilità, oscillazioni
• studio dettagliato di alcuni esempi, da dinamica delle popolazioni (es. Lotka-Volterra), modelli di diffusione di virus (es. SIR), modelli di spike neuronali, modelli di crescita tumorale.
• progettini, anche con l'ausilio del software R, per problemi ed esempi particolari come differenziazione e ciclo cellulare, meccanismi di feedback e dinamiche enzima-substrato.

Calcolo delle Probabilità e Statistica

• elementi di base (eventi, loro probabilità, prime regole, probabilità condizionale e indipendenza, formula di Bayes e delle probabilità totali)
• esempi di variabili aleatorie discrete e continue, valori medi e loro proprietà
• modelli lineari in statistica (regressione lineare multipla, metodo delle componenti principali, implementazione su dati tramite il software R)
• catene di Markov (grafi, probabilità di transizione, classificazione degli stati, misure invarianti) ed applicazioni, anche a modelli simili a quelle delle equazioni differenziali ordinarie.

Serie di Fourier

• sviluppo in serie di Fourier di funzioni periodiche regolari in una variabile
• generalizzazioni a funzioni meno regolari
• alcuni elementi sulle serie di Fourier in due variabili
• analisi di serie storiche con R

Possibili elementi avanzati

• processi stocastici, moto browniano
• equazioni di dìfferenziali stocastiche (Langevin), equazione di Fokker-Planck
• grafi e reti
• statistica bayesiana