Probability and Stochastic Analysis
Prerequisiti
Prerequisiti: È richiesta una buona conoscenza dei contenuti di base dell’analisi matematica, dell’algebra lineare e della teoria della misura. Sono inoltre utili nozioni preliminari di probabilità, incluse variabili aleatorie, distribuzioni, convergenze probabilistiche e valore atteso condizionato.
Una familiarità con gli spazi funzionali e con alcuni elementi di equazioni differenziali o equazioni alle derivate parziali può facilitare la comprensione di alcune parti del corso, ma non è strettamente necessaria.
Per gli anni di corso, vedere requisiti SNS
Programma
Il corso introduce gli strumenti fondamentali della probabilità moderna e
dell'analisi stocastica, con particolare attenzione alla costruzione rigorosa
dei processi aleatori e alle loro applicazioni analitiche.
Nella prima parte, di introduzione, vengono ricordati gli elementi di
teoria della misura, integrazione, variabili aleatorie, convergenze
probabilistiche e condizionamento; vengono presentati i prodotti di
spazi di probabilità, il teorema di estensione di Kolmogorov e il
criterio di continuità di Kolmogorov.
La seconda parte è dedicata al moto browniano e alle strutture gaussiane:
misure gaussiane in dimensione finita e infinita, spazio di Cameron-Martin,
white noise, misura di Wiener, variazione quadratica e integrale di Wiener. Si
introducono quindi filtrazioni, tempi di arresto, proprietà di Markov e forte
Markov, principio di riflessione e alcune applicazioni del moto browniano a
problemi parabolici con condizioni al bordo.
La parte finale presenta l'integrale di Itô, la formula di Itô e le equazioni
differenziali stocastiche in dimensione finita, con il teorema di esistenza e
unicità sotto ipotesi standard di regolarità dei coefficienti.
L'obiettivo è fornire una base matematica solida per lo studio dei
processi stocastici continui, delle equazioni stocastiche e dei
collegamenti fra probabilità, analisi funzionale e teoria delle
equazioni alle derivate parziali.
Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire agli studenti una conoscenza solida e rigorosa degli strumenti fondamentali della probabilità moderna e dell’analisi stocastica. Al termine del corso, lo studente avrà acquisito familiarità con la costruzione matematica dei processi aleatori continui, con particolare riferimento al moto browniano, alle misure gaussiane e all’integrale stocastico.
Lo studente sarà inoltre in grado di comprendere e utilizzare concetti quali filtrazioni, tempi di arresto, proprietà di Markov, variazione quadratica, integrale di Wiener, integrale di Itô e formula di Itô. Un ulteriore obiettivo è introdurre le equazioni differenziali stocastiche in dimensione finita e fornire gli strumenti necessari per comprenderne i principali risultati di esistenza e unicità.
Il corso mira infine a sviluppare la capacità di collegare metodi probabilistici, analisi funzionale e teoria delle equazioni alle derivate parziali, preparando lo studente allo studio avanzato dei processi stocastici e delle loro applicazioni analitiche.
Riferimenti bibliografici
note in PDF