Krylov Subspace Methods and Preconditioning
Prerequisiti
Ottima conoscenza dell'algebra lineare e familiarita` con le nozioni di base del calcolo numerico e della programmazione scientifica, per esempio in MATLAB, Python, o Julia.
Il corso e` adatto a studenti di PhD (I-II anno) e a studenti della laurea magistrale in possesso di conoscenze di analisi numerica. Il corso potrebbe essere utile anche a studenti
dei corsi di PhD in Chimica e in Fisica.
Programma
Cenni introduttivi
Sottospazi di Krylov
Metodi di proiezione
Metodi di Arnoldi e di Lanczos
Il metodo dei gradienti coniugati
Elementi di teoria dell'approssimazione
Polinomi di Chebyshev e di Faber
Il metodo FOM (Full Orthogonalization Method)
Metodi di minimizzazione del residuo (MinRes, GMRES)
Metodi ibridi (cenni)
Analisi della convergenza
Teorema di Faber-Manteuffel (enunciato)
Tecniche di precondizionamento (ILU, SPAI, AINV, AMG, etc.)
Metodi di Krylov razionali
Metodi di Krylov per il calcolo di autovalori e di funzioni di matrici
Obiettivi formativi
Insegnare i fondamenti matematici e gli aspetti computazionali dei metodi di Krylov (polinomiali e razionali) per la soluzione di sistemi lineari e problemi di autovalori di grandi dimensioni, insieme alle relative tecniche di
precondizionamento. Alla fine del corso gli studenti saranno in grado di utilizzare questi metodi per la soluzione di problemi scientifici, e di condurre attivita` di ricerca in questo settore dell'analisi numerica.
Riferimenti bibliografici
Y. Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, SIAM, Philadelphia, 2003.
Ulteriori riferimenti bibliografici verranno forniti a lezione.