Random trees and Random Graphs
Prerequisiti
Il corso è consigliato sia per studenti magistrali che dottorandi, ed eventualmente per studenti interessati a partire dal terzo anno. Non vi sono forti prerequisiti tecnici se non il corso di Elementi e Probabilità e Statistica (052AA); il corso Probabilità (070AA) è fortemente consigliato. Questo corso è in parte da intendersi come complementare al corso Probability on Graphs, ma i due corsi sono intesi per poter essere seguiti in qualunque ordine.
Programma
Il corso tratterà diversi aspetti della teoria dei grafi aleatori. In primo luogo, discuteremo il modello degli alberi di Bienaimé–Galton–Watson e i loro limiti locali e di scala. Passeremo poi al modello di Erdős–Rényi, di cui studieremo le transizioni di fase, per arrivare a vari esempi correlati e generalizzazioni, quali il configuration model e gli inhomogeneous random graphs. Infine, approfondiremo la teoria delle mappe planari aleatorie e dei loro limiti, mettendo in evidenza le tecniche combinatorie di enumerazione e i collegamenti con diverse aree della Matematica e della Fisica.
Obiettivi formativi
Il corso introduce i principali modelli di grafi aleatori e le tecniche probabilistiche e combinatorie utilizzate per il loro studio. Gli studenti acquisiranno familiarità con tali strumenti, nonché con fenomeni quali transizioni di fase e limiti asintotici di strutture casuali.
Riferimenti bibliografici
N. Curien, A random walk among random graphs, Cours Spécialisés, 31, Soc. Math. France, Paris, 2025; MR5008856
R. van der Hofstad, Random graphs and complex networks., Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics, [43], Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2017; MR3617364
J.-F. Le Gall and G. Miermont, Scaling limits of random trees and planar maps, in Probability and statistical physics in two and more dimensions, 155--211, Clay Math. Proc., 15, Amer. Math. Soc.; MR3025391