Introduzione all'Analisi Funzionale e alla Teoria della Misura
Prerequisiti
Il corso e' rivolto a allievi/allieve del III anno di Matematica, ma anche allievi/allieve di Fisica potrebbero essere interessati
Programma
TEORIA DELLA MISURA ASTRATTA
Anelli, algebre e sigma-algebre
Funzioni di insieme additive e sigma-additive
Spazi misurabili e di misura
Costruzioni di misure e Lemma di Dynkin
Misure di Hausdorff e di Lebesgue
Proprieta' di regolarità
INTEGRAZIONE
Funzioni semplici e misurabili
Integrale di funzioni misurabili
Teoremi di Lusin, Egorov, Ulam
Disuguaglianza di Jensen
Convergenza degli integrali: Levi, Fatou, Lebesgue, Vitali-Hahn-Saks
OPERAZIONI SU MISURE
Trasporto e formula di cambiamento di variabili
Prodotti: teorema di Fubini-Tonelli
Teorema di Radon-Nikodym
Teoremi di ricoprimento e applicazioni alla differenziazione di misure
Teorema fondamentale del calcolo integrale
ANALISI FUNZIONALE
Spazi di Hilbert: teorema di Riesz, disuguaglianza di Bessel, identita' di Parseval
Spazi di Banach:
-teoremi di Banach-Steinhaus, della mappa aperta e del grafico chiuso
- riflessivita', topologie deboli e forti, teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki, lemma di Mazur.
DUALITA' E CONVERGENZA DEBOLE
Spazi L^p: criteri di compattezza rispetto alle convergenze forti e deboli
Duale di C(K) e applicazioni, criteri di convergenza debole di misure e
teorema di Prokhorov
Obiettivi formativi
Il corso vuole offrire alle allieve e agli allievi del III anno una introduzione a temi di base, di teoria della misura, dell'integrazione e di analisi funzionale, che
certamente agevolerà la loro frequenza nei corsi piu' avanzati e specifici della laurea magistrale e del dottorato.
Riferimenti bibliografici
H. Brezis: Analyse Fonctionelle
W. Rudin: Real and Complex Analysis
L.Ambrosio, G.Da Prato, A.Mennucci: Introduction to Measure Theory and Integration