Modalità d'esame
esame orale
Prerequisiti
Prerequisiti: È richiesta una buona conoscenza dei contenuti di base dell’analisi matematica, dell’algebra lineare e della teoria della misura. Sono inoltre utili nozioni preliminari di probabilità, incluse variabili aleatorie, distribuzioni, convergenze probabilistiche e valore atteso condizionato.
Una familiarità con gli spazi funzionali e con alcuni elementi di equazioni differenziali o equazioni alle derivate parziali può facilitare la comprensione di alcune parti del corso, ma non è strettamente necessaria.
Per gli anni di corso, vedere requisiti SNS
Programma insegnamento
Il corso introduce gli strumenti fondamentali della probabilità moderna e
dell'analisi stocastica, con particolare attenzione alla costruzione rigorosa
dei processi aleatori e alle loro applicazioni analitiche.
Nella prima parte, di introduzione, vengono ricordati gli elementi di
teoria della misura, integrazione, variabili aleatorie, convergenze
probabilistiche e condizionamento; vengono presentati i prodotti di
spazi di probabilità, il teorema di estensione di Kolmogorov e il
criterio di continuità di Kolmogorov.
La seconda parte è dedicata al moto browniano e alle strutture gaussiane:
misure gaussiane in dimensione finita e infinita, spazio di Cameron-Martin,
white noise, misura di Wiener, variazione quadratica e integrale di Wiener. Si
introducono quindi filtrazioni, tempi di arresto, proprietà di Markov e forte
Markov, principio di riflessione e alcune applicazioni del moto browniano a
problemi parabolici con condizioni al bordo.
La parte finale presenta l'integrale di Itô, la formula di Itô e le equazioni
differenziali stocastiche in dimensione finita, con il teorema di esistenza e
unicità sotto ipotesi standard di regolarità dei coefficienti.
L'obiettivo è fornire una base matematica solida per lo studio dei
processi stocastici continui, delle equazioni stocastiche e dei
collegamenti fra probabilità, analisi funzionale e teoria delle
equazioni alle derivate parziali.
Riferimenti bibliografici
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