Modalità d'esame
Orale breve, seminario
Note modalità di esame
L'esame consisterà di un seminario su di un argomento concordato con lo studente, più una domanda di teoria sugli argomenti del corso.
Prerequisiti
Il corso è consigliato per studenti del quarto o quinto anno e del dottorato.
Il prerequisito minimo è un corso di base di geometria algebrica (ad esempio Elementi di Geometria Algebrica) ed uno di topologia (Geometria 2) in cui sia stato affrontato il gruppo fondamentale topologico. È fortemente consigliato aver seguito Teoria degli Schemi I, ed è utile aver seguito Teoria degli schemi II, o comunque avere una conoscenza della teoria degli schemi al livello del libro di Hartshorne.
Programma insegnamento
Il corso sarà diviso in due parti: nella prima parte (che durerà circa due terzi del corso) svilupperemo la teoria del gruppo fondamentale étale. Nella seconda parte affronteremo alcune applicazioni ed argomenti scelti: farò alcune proposte per questa seconda parte, ma gli studenti sono invitati a proporre argomenti alternativi più di loro interesse.
Prima parte.
- Morfismi non-ramificati ed étale.
- Categoria dei rivestimenti étale. Categorie di Galois.
- Gruppo fondamentale di una categoria di Galois. Morfismi di gruppi profiniti e categorie di Galois.
- Gruppi di Galois come gruppi fondamentali. Confronto con il gruppo fondamentale topologico. Gruppo fondamentale di una curva liscia in caratteristica 0.
- Sequenze esatte di omotopia. Specializzazione del gruppo fondamentale.
- Se c'è tempo, accenni al gruppo fondamentale di Nori e categorie tannakiane.
Seconda parte. Possibili argomenti, da definire seconda degli interessi degli studenti. Proposte differenti sono benvenute.
- Il gruppo fondamentale tame di una curva in caratteristica positiva.
- J. Stix "On the period-index problem in light of the section conjecture".
- A. Tamagawa "The Grothendieck conjecture for affine curves".
- Teorema di Belyi e conseguenze per il gruppo di Galois di Q.
Riferimenti bibliografici
- J. P. Murre, Lectures on an Introduction to Grothendieck’s Theory of the Fundamental Group.
- T. Szamuely, Galois groups and fundamental groups.
- A. Grothendieck et al.t, SGA 1.
- M. Nori, The fundamental group scheme.