Modalità d'esame
<p>Orale breve, seminario</p>
Note modalità di esame
<p>L'esame consisterà di un seminario su di un argomento concordato con lo studente, più una domanda di teoria sugli argomenti del corso.</p>
Prerequisiti
Il corso è consigliato per studenti del quarto o quinto anno e del dottorato.
Il prerequisito minimo è un corso di base di geometria algebrica (ad esempio Elementi di Geometria Algebrica) ed uno di topologia (Geometria 2) in cui sia stato affrontato il gruppo fondamentale topologico. È fortemente consigliato aver seguito Teoria degli Schemi I, ed è utile aver seguito Teoria degli schemi II, o comunque avere una conoscenza della teoria degli schemi al livello del libro di Hartshorne.
Programma insegnamento
Il corso sarà diviso in due parti: nella prima parte (che durerà circa due terzi del corso) svilupperemo la teoria del gruppo fondamentale étale. Nella seconda parte affronteremo alcune applicazioni ed argomenti scelti: farò alcune proposte per questa seconda parte, ma gli studenti sono invitati a proporre argomenti alternativi più di loro interesse.
Prima parte.
- Morfismi non-ramificati ed étale.
- Categoria dei rivestimenti étale. Categorie di Galois.
- Gruppo fondamentale di una categoria di Galois. Morfismi di gruppi profiniti e categorie di Galois.
- Gruppi di Galois come gruppi fondamentali. Confronto con il gruppo fondamentale topologico. Gruppo fondamentale di una curva liscia in caratteristica 0.
- Sequenze esatte di omotopia. Specializzazione del gruppo fondamentale.
- Se c'è tempo, accenni al gruppo fondamentale di Nori e categorie tannakiane.
Seconda parte. Possibili argomenti, da definire seconda degli interessi degli studenti. Proposte differenti sono benvenute.
- Il gruppo fondamentale tame di una curva in caratteristica positiva.
- J. Stix "On the period-index problem in light of the section conjecture".
- A. Tamagawa "The Grothendieck conjecture for affine curves".
- Teorema di Belyi e conseguenze per il gruppo di Galois di Q.
Riferimenti bibliografici
- J. P. Murre, Lectures on an Introduction to Grothendieck’s Theory of the Fundamental Group.
- T. Szamuely, Galois groups and fundamental groups.
- A. Grothendieck et al.t, SGA 1.
- M. Nori, The fundamental group scheme.