Lecture
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01 Nov 2021 (2h 00m)
Giulia Livieri - Corso (attività didattica) - In presenza
Introduzione alla Logica Matematica. Definizione di Proposizione e di quando una Proposizione è vera. Connettivi logici [negazione, disgiunzione, congiunzione] e definizione di teorema. Tavole di verità ed equivalenza tra tavole di verità. Definizione di funzione uniformemente continua e della sua negazione. Definizione di Campo [con assiomi delle operazioni di somma e prodotto]. Dimostrazione di alcune proprietà delle operazioni di somma e prodotto derivanti dagli assiomi di Campo [ad esempio a b = 0 iff a = 0 or b= 0].
02 Nov 2021 (2h 00m)
Giulia Livieri - Corso (attività didattica) - In presenza
Definizione di Relazione d’ordine , Relazione di Equivalenza e Relazione d’ordine completa. Definizione di minimo, massimo, maggiorante e minorante e relative proprietà. Divisione Euclidea su Z [dimostrazione di esistenza e unicità di resto e quoziente].
03 Nov 2021 (2h 00m)
Giulia Livieri - Corso (attività didattica) - In presenza
Principio di Induzione ed Esercizi. Definizione dei numeri Razionali. Espansione decimale di un numero razionale. Proprietà della espansione decimale di un numero razionale con dimostrazione. Inizio della densità dei razionali nei reali.
03 Nov 2021 (2h 00m)
Giulia Livieri - Corso (attività didattica) - In presenza
Definizione di Spazio Metrico. Proprietà della funzione metrica o distanza. Definizione di Intorno, definizione di punto limite [e di punto isolato], definizione di insieme chiuso, definizione di punto interno, definizione di insieme aperto, definizione di insieme limitato. Dimostrazione del fatto che ogni intorno è un insieme aperto. Dimostrazione del fatto che se p è un punto limite di E allora ogni intorno di p contiene infiniti punti di E.
12 Nov 2021 (3h 00m)
Giulia Livieri - Corso (attività didattica) - In presenza
Definizione di Spazio Euclideo [R^{N} con la distanza euclidea]. Definizione di successione a valori in un sottoinsieme generico di uno spazio metrico. Retta Reale Estesa. Definizione di successione convergente. Dimostrazione dell’unicità del limite di una successione convergente. Dimostrazione del fatto che il limite di una successione convergente è un punto limite. Esercizio sul fatto che se una successione è convergente allora posso costruire un intorno a cui vi appartengono tutti i punti p_n. Esercizio sulla concordanza del segno della successione e il limite. Teorema dei carabinieri.
13 Nov 2021 (3h 00m)
Giulia Livieri - Corso (attività didattica) - In presenza
Definizione di una successione monotona. Dimostrazione di limite di una successione monotona. Dimostrazione del fatto che se una successione monotona converge allora è limitata (e viceversa). Definizione di sottosuccessione. Dimostrazione del fatto che una successione converge ad s se e soltanto se ogni sua sottosuccessione converge ad s. Dimostrazione del fatto che ogni successione ha una sottosuccessione monotona. Teorema di Bolzano Weierstrass.Dimostrazione di alcuni limiti notevoli.
14 Nov 2021 (2h 00m)
Giulia Livieri - Corso (attività didattica) - In presenza
Dimostrazione di alcuni limiti notevoli. Definizione di successione di Cauchy. Dimostrazione del fatto che ogni successione convergente è di Cauchy. Dimostrazione che in R vale anche il viceversa. Definizione di completezza. Esercizi vari.
19 Nov 2021 (2h 00m)
Giulia Livieri - Corso (attività didattica) - In presenza
Serie numeriche. Definizione di Serie come limite di una successione. Serie Geometrica. Serie a Termini non negativi. Definizione di Serie Assolutamente Convergente. Criteri di convergenza per le serie. Test del Confronto. Serie a segno alterno. Esercizi vari.
20 Nov 2021 (2h 00m)
Giulia Livieri - Corso (attività didattica) - In presenza
Dimostrazione del fatto che non esiste alcun razionale q \in Q tale per cui q^2=2. Dimostrazione del fatto che dato un insieme A = \{q \in Q : q^2<2\} allora il suo estremo superiore se esiste non appartiene a Q. Definizione di estremo superiore. Proprietà di Archimede.
04 Mar 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Didattica integrativa - In presenza
Fatti elementari su R^n e funzioni di più variabili. Derivate parziali e direzionali, gradiente, esempi e interpretazioni geometriche (es. curve di livello e gradiente).
11 Mar 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Didattica integrativa - In presenza
Vettori ed applicazioni lineari. Rappresentazione in coordinate e matrici. Differenziale di una funzione in più variabili, ruolo del gradiente, interpretazione geometrica.
18 Mar 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Didattica integrativa - In presenza
Formula della derivata della composizione, in più variabili. Esempio del potenziale composto con una traiettoria. Operazioni tra vettori: prodotto scalare e prodotto vettoriale. Scrittura in coordinate, determinante e tensore di Levi-Civita applicati al prodotto vettoriale. Campi vettoriali, operazioni differenziali su funzioni e campi, analogia con le operazioni vettoriali. Teorema di Schwartz. Due esempi di regole: div(curl v) = 0, curl(grad f)=0; cenno al problema inverso.
24 Mar 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Didattica integrativa - In presenza
Matrici simili, sono diverse rappresentazioni matriciali della stessa applicazione lineare. Caso delle trasformazioni unitarie (basi ortonormali). Teorema spettrale: similitudine unitaria con matrice diagonale. Autovettori ed autovalori. Traccia, enunciato di alcuni teoremi, inclusa l'invarianza per similitudine: uguale a somma di autovalori per matrici simmetriche. Traccia nulla implica o matrice nulla o due autovalori discordi. Interpretazione dinamica di autovalori discordi. Matrice jacobiana ed hessiana, loro traccia come divergenza e laplaciano, campi a divergenza nulla. Enunciati di teoremi in R^d che legano convessità e minimi relativi a proprietà della matrice hessiana. Traccia nulla e punto sella. Calcolo del gradiente di alcune funzioni che contengono operazioni vettoriali.
29 Mar 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Didattica integrativa - In presenza
Approfondimenti di Algebra Lineare su cose accennate nelle lezioni passate: - concetto di spazio e sottospazio vettoriale; tre esempi (anche matrici a traccia nulla rispetto a tutte le matrici nxn) - definizione di dipendenza e indipendenza lineare - sistema di generatori e base di uno spazio (o sottospazio) - enunciato del teorema sulla dimensione (e sua definizione) di uno spazio vettoriale - teorema sull'esistenza delle coordinate di un vettore rispetto ad una base (dimostrato) - come ricavare le le coordinate di un vettore in una base da quelle in un'altra, matrice di cambio di base.
31 Mar 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Didattica integrativa - Mista
Rappresentazione matriciale di un'applicazione lineare, fissate due basi e regola di trasformazione cambiando le basi (ancora da spiegare bene) prodotto scalare, norma e distanza associate, esempi; base ortonormale, modifica delle regole precedenti in questo caso, matrici ortogonali.
07 Apr 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Didattica integrativa - A distanza
Esercitazione su matrici e spazi vettoriali (9 esercizi proposti).
12 Apr 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Didattica integrativa - A distanza
Esercitazione su matrici (svolgimento di alcuni degli esercizi proposti).
21 Apr 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Didattica integrativa - A distanza
Esercitazione sul calcolo differenziale in più variabili (foglio di esercizi proposti).
26 Apr 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Didattica integrativa - Mista
Elementi rigorosi di calcolo differenziale, ad esempio teorema del differenziale totale e sua dimostrazione. Soluzione di alcuni esercizi.
28 Apr 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Didattica integrativa - Mista
Curve ed archi, vari elementi di teoria, inclusa la riparametrizzazione, la lunghezza.
03 Maggio 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Didattica integrativa - In presenza
Teorema del Dini.
05 Maggio 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Didattica integrativa - In presenza
Integrali curvilinei, connessione per archi, teorema sui campi conservativi.
10 Maggio 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Didattica integrativa - In presenza
Elementi di Algebra Lineare. Si veda anche il libro di Lang. Definizione di Ker e range. Enunciato del teorema della dimensione. Enunciato del teorema che caratterizza l'invertibilità di una matrice con il determinante non nullo. Enunciato del teorema sul determinante del prodotto. Enunciato e dimostrazione di semplici sue conseguenze, come la formula del determinante dell'inversa e l'invarianza del determinante per similitudini. Definizione di autovalore e autovettore. Definizione di polinomio caratteristico e dimostrazione del fatto che le sue radici sono tutti e soli gli autovalori. Definizione di molteplicità algebrica di un autovalore. Definizione di molteplicità geometrica. Enunciato sulla loro relazione generale.
12 Maggio 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Didattica integrativa - In presenza
Elementi di Algebra Lineare. Teorema sulla dimensione di ker e range: impostazione generale della dimostrazione, completamento di una parte relativa all'unicità (indipendenza lineare). Esempi vari di matrici diagonali oppure in forma di Jordan e comprensione, per esse, di chi sia il polinomio caratteristico, gli autovalori, gli autovettori, le molteplicità algebriche e geometriche.
17 Maggio 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Didattica integrativa - In presenza
Capitolo 4 (Lang): dimostrazione dell'esistenza del teorema sulla dimensione. Capitolo 6: Enunciato del teorema sull'esistenza del determinante (che funge da sua definizione assiomatica). Varie piccole proprietà che ne discendono facilmente (con dimostrazione): alternanza, annullamento con colonne uguali qualsiasi, annullamento quando una colonna è combinazione delle altre. Enunciato della caratterizzazione tramite somme sulle permutazioni (con premesse sul concetto di segno di una permutazione). Dimostrazione del teorema sul determinante del prodotto. Dimostrazione del teorema sull'equivalenza tra invertibilità della matrice e determinante non nullo (diversa da quella del libro, scelta facoltativa). Blocchi di Jordan. Forma generale di Jordan, jordanizzazione. Enunciato del teorema di Jordan.
19 Maggio 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Didattica integrativa - In presenza
Diagonalizzazione e jordanizzazione per matrici in dimensione 2. Esercizio.
12 Lug 2022 (2h 00m)
Franco Flandoli - Didattica integrativa - In presenza
Esercitazione su matrici (svolgimento di alcuni degli esercizi proposti).
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