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Introduction to Probability

Registro delle lezioni

Anno accademico 2022/2023
Docente Franco Flandoli, Alessandra Caraceni

Lecture

  • 24 Nov 2022 (2h 00m)

    Alessandra Caraceni - Corso (attività didattica) - In presenza

    Some relevant random variables, Poisson processes, notes about stochastic processes and measurability, the Markov property, the memoryless property, alternative characterisation of Poisson processes

  • 29 Nov 2022 (2h 00m)

    Alessandra Caraceni - Corso (attività didattica) - Mista

    Alternative definitions of a Poisson process; superposition, thinning, conditioning and some consequences.

  • 01 Dic 2022 (2h 00m)

    Alessandra Caraceni - Corso (attività didattica) - In presenza

    Poisson Point Processes on general metric spaces

  • 06 Dic 2022 (2h 00m)

    Alessandra Caraceni - Corso (attività didattica) - Mista

    Introduction to CTMC's, jump times, holding times, jump chain, absorption/explosion, birth processes, the yule process, the Q-matrix, Poisson process construction

  • 13 Dic 2022 (2h 00m)

    Alessandra Caraceni - Corso (attività didattica) - In presenza

    Kolmogorov equations

  • 15 Dic 2022 (2h 00m)

    Alessandra Caraceni - Corso (attività didattica) - Mista

    Examples, birth & death processes, SIR.

  • 20 Dic 2022 (2h 00m)

    Alessandra Caraceni - Corso (attività didattica) - In presenza

    Equilibrium theory for CTMCs

  • 10 Gen 2023 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Introduzione alla seconda parte del corso: SDE, PDE e loro legami. Moto browniano: definizione e vari elementi euristici, simulativi ed enunciati rigorosi. Equazioni stocastiche con moto browniano additivo, enunciato teoremi base, simulazione.

  • 12 Gen 2023 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Costruzione del moto browniano. Cenni al concetto di white noise.

  • 17 Gen 2023 (2h 00m)

    Alessandra Caraceni - Corso (attività didattica) - Mista

    Renewal processes, strong law of RT, elementary renewal theorem.

  • 19 Gen 2023 (2h 00m)

    Alessandra Caraceni - Corso (attività didattica) - Mista

    Key renewal theorem

  • 24 Gen 2023 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Formula di Ito per il moto browniano. Definizione dell'integrale di Ito. Cenno a Stratonovich, Young ed altri. Sviluppo di Taylor al secondo ordine ed euristica della dimostrazione della formula di Ito. Teorema sulla variazione quadratica, con dimostrazione.

  • 26 Gen 2023 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Scaling e traslazione del moto browniano (cenno alla traslazione con tempi di arresto), sua legge Unica, non il processo). Problema del tempo trascorso in un piccolo intervallo. Congetture su base deterministica e di scaling. Risultato sulla base della formula di Ito usata secondo il metodo di Tanaka. Idea sugli zeri del moto browniano. Concetto di misura di occupazione e prime osservazioni.

  • 31 Gen 2023 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Regolarità e mancanza di regolarità del MB. Il local time. Formula di occupazione.

  • 02 Feb 2023 (2h 00m)

    Alessandra Caraceni - Corso (attività didattica) - Mista

    Brownian excursions, Itô measure

  • 07 Feb 2023 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    SDE, noise additivo, esistenza e unicità nel caso lipschitziano. Esempi espliciti: lineare. Calcolo varianza. Moto browniano cinetico.

  • 09 Feb 2023 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Moto browniano cinetico, suo scaling limit. SDE a coefficienti generali.

  • 14 Feb 2023 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    PDE associate al moto browniano Formula di Ito per SDE. Equazioni di Fokker-Planck

  • 16 Feb 2023 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Kolmogorov, in generale, teorema di buona pos classica. Da Kolmogorov alla formula di rappresentazione. Dalla SDE e formula di rappresentazione si può arrivare a Kolmogorov. Discussione di pregi, difetti e utilità varie. Tempo di uscita, equazione ellittica e formula per il tempo medio. Applicazione al MB. Probabilità di uscita e problema della rovina del giocatore.

  • 21 Feb 2023 (2h 00m)

    Franco Flandoli - Corso (attività didattica) - In presenza

    Densità invarianti come soluzioni di FP stazionario, calcolo esplicito per drfit gradiente, esempio a due buche con interpretazioni dinamiche, cenno al problema dell'unicità e convergenza all'equilibrio. Limite di zero noise. Formula di Feynman Kac.

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