Introduzione ai sistemi dinamici I

Registro delle lezioni

Anno accademico 2021/2022
Docente Stefano Marmi

Lecture

  • 01 Nov 2021 (10h 00m)

    Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista

    Cinque lezioni nell ottobre 2021 in presenza con trasmissione sulla piattaforma Teams: 2h 05/10/2021: introduzione al corso. Equazioni differenziali ordinarie e flussi. Equazioni di Lorenz. Equazione del pendolo, discretizzazione e mappa standard. Problema di Collatz. Successione di Kolakoski. Definizione di azione di un (semi)-gruppo. Definizione di sistema dinamico. Sistemi dinamici a tempo discreto e a tempo continuo. 2h 06/10/2021: teoremi di esistenza globale per le E.D.O. Norma di Hilbert-Schmidt e esponenziale di una matrice. E.D.O. lineari e loro soluzione. Classificazione delle E.D.O. lineari nel piano. Esercizio: periodi dei moti di un punto materiale in un potenziale polinomiale di grado 4. 2h 12/10/2021: Punti di equilibrio. Stabilità e stabilità asintotica. Linearizzazione di una E.D.O. vicino a un punto di equilibrio. Equazioni di Lotka-Volterra. Modello SIR. 2h 13/10/2021: sezione di Poincaré e sospensione di un sistema dinamico a tempo discreto. Esempio: dalle rotazioni ai flussi lineari sul toro bidimensionale. Definizione di sistema dinamico topologico. Punti non erranti, ricorrenti. 2h 26/10/2021: Trasformazioni misurabili, misura immagine. Definizione di sistema dinamico misurabile. Coniugazione di sistemi dinamici (topologici, misurabili). Esempi (mappa a tenda, mappa di Ulam-Von Neumann, mappa del panettiere, altri). Estensioni, fattori. Sistemi topolgicamente transitivi, minimali, topologicamente mescolanti. Caratterizzazioni equivalenti della transitività topologica.

  • 09 Nov 2021 (2h 00m)

    Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista

    Lezione in aula con studenti in aula e non, trasmissione mediante piattaforma Teams: Caratterizzazioni equivalenti della minimalità. Sistemi dinamici caotici secondo Devaney. Dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali. Rotazioni irrazionali, shift su successioni con m simboli (unilatere e bilatere), mappe espansive del cerchio. Distanza di Hausdorff. Sistemi di funzione iterati (IFS). Insieme di Cantor e triangolo di Sierpinski come attrattori di IFS.

  • 10 Nov 2021 (2h 00m)

    Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista

    Lezione in aula con studenti in aula e non, trasmissione mediante piattaforma Teams: Teorema del Collage. Spazi di Hilbert. Sistemi ortonormali, basi di Hilbert, diseguaglianza di Bessel. Completezza. Serie di Fourier.

  • 23 Nov 2021 (1h 00m)

    Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista

    Lezione in aula con trasmissione su piattaforma teams: Lemma di Riemann Lebesgue. Convergenza puntuale delle serie di Fourier di funzioni di classe C1. Teorema di Fischer-Riesz.

  • 24 Nov 2021 (2h 00m)

    Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista

    Lezione in aula con trasmissione su piattaforma teams: Regolarità di una funzione e comportamento asintotico dei coefficienti di Fourier: funzioni C infinito e funzioni analitiche. Sistemi dinamici misurabili: frequenza media delle visite. Enunciato del teorema di Birkhoff. Ergodicità. Ergodicità delle rotazioni irrazionali sulla circonferenza.

  • 30 Nov 2021 (2h 00m)

    Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista

    Lezione con studenti in aula e non in aula, trasmessa su teams: Osservabili di un sistema dinamico misurabile. Somme di Birkhoff, medie temporali. Dimostrazione del teorema di Birkhoff. Caratterizzazioni equivalenti dell’ergodicità: indecomponibilità metrica, trivialità degli integrali primi, mescolamento in media. Sistemi dinamici mescolanti. Sistemi dinamici unicamente ergodici.

  • 01 Dic 2021 (2h 00m)

    Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista

    lezione con studenti in aula e non in aula, trasmessa su teams: Teorema di rappresentazione di Riesz. Teorema di Krylov-Bogoliubov. Teorema di ricorrenza di Poincaré. Tempo di ritorno e di primo ingresso. Lemma di Kac. Operatore di Perron Frobenius. Mappe monotone a tratti dell’intervallo.

  • 07 Dic 2021 (1h 00m)

    Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista

    lezione con studenti in aula e non in aula, trasmessa su teams: Schemi di Bernoulli: invarianza della misura, mescolamento forte. Sistemi di funzione iterati random (cenni). Skew-products.

  • 14 Dic 2021 (2h 00m)

    Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista

    lezione con studenti in aula e non in aula, trasmessa su Teams: definizione di informazione di una variabile aleatoria. Entropia di Shannon. Codici prefissi. Proprietà dell’entropia. Variabili aleatorie prodotto. Entropia condizionale. Entropia congiunta. Regola della catena. Enunciato del teorema di unicità dell’entropia.

  • 15 Dic 2021 (2h 00m)

    Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista

    lezione con studenti in aula e connessi da remoto, trasmessa su Teams: Dimostrazione dell’unicità dell’entropia. Entropia relativa (Kullback-Leibler). Diseguaglianza di Jensen. Diseguaglianza log-sum. Positività dell’entropia relativa. Informazione mutua. Convessità dell’entropia e dell’entropia relativa.

  • 11 Gen 2022 (2h 00m)

    Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista

    lezione in aula con studenti presenti in aula e altri collegati su Teams: Convergenza di variabili aleatorie. Legge dei grandi numeri. Proprietà di equipartizione asintotica. Insieme tipico. Proprietà dell’insieme tipico. Costruzione di una codifica ottimale usando l’insieme tipico: entropia di Shannon come tasso di compressione.

  • 12 Gen 2022 (2h 00m)

    Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista

    lezione in aula con studenti presenti e altri collegati su Teams: Processi stocastici stazionari. Catene di Markov. Irriducibilità. Aperiodicità. Convergenza. Grafi e matrici di adiacenza. Matrici stocastiche. Tasso di entropia. Teorema di Shannon-Breiman-McMillan. Codifica di una sorgente. Codici non singolari, estensione di un codice, codici istantaneamente decodificabili.

  • 18 Gen 2022 (2h 00m)

    Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista

    lezione con studenti in aula e connessi da remoto, trasmessa su Teams: camminate aleatorie su grafi. Enunciato del teorema di Perron-Frobenius per matrici irriducibili. Comportamento asintotico delle potenze di una matrice primitiva. Algoritmo Page Rank di Google. Applicazioni del Page Rank.

  • 19 Gen 2022 (2h 00m)

    Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista

    Lezione con studenti in aula e che seguono da remoto su Teams: Diseguaglianza di Kraft. Dimostrazione della diseguaglianza di Kraft. Diseguaglianza di Kraft estesa. Codici ottimali. Lunghezza attesa di un codice ottimale e tasso di entropia di un processo stocastico stazionario. Codifica di Shannon.