Lecture
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01 Nov 2021 (10h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
Cinque lezioni nell ottobre 2021 in presenza con trasmissione sulla piattaforma Teams: 2h 05/10/2021: introduzione al corso. Equazioni differenziali ordinarie e flussi. Equazioni di Lorenz. Equazione del pendolo, discretizzazione e mappa standard. Problema di Collatz. Successione di Kolakoski. Definizione di azione di un (semi)-gruppo. Definizione di sistema dinamico. Sistemi dinamici a tempo discreto e a tempo continuo. 2h 06/10/2021: teoremi di esistenza globale per le E.D.O. Norma di Hilbert-Schmidt e esponenziale di una matrice. E.D.O. lineari e loro soluzione. Classificazione delle E.D.O. lineari nel piano. Esercizio: periodi dei moti di un punto materiale in un potenziale polinomiale di grado 4. 2h 12/10/2021: Punti di equilibrio. Stabilità e stabilità asintotica. Linearizzazione di una E.D.O. vicino a un punto di equilibrio. Equazioni di Lotka-Volterra. Modello SIR. 2h 13/10/2021: sezione di Poincaré e sospensione di un sistema dinamico a tempo discreto. Esempio: dalle rotazioni ai flussi lineari sul toro bidimensionale. Definizione di sistema dinamico topologico. Punti non erranti, ricorrenti. 2h 26/10/2021: Trasformazioni misurabili, misura immagine. Definizione di sistema dinamico misurabile. Coniugazione di sistemi dinamici (topologici, misurabili). Esempi (mappa a tenda, mappa di Ulam-Von Neumann, mappa del panettiere, altri). Estensioni, fattori. Sistemi topolgicamente transitivi, minimali, topologicamente mescolanti. Caratterizzazioni equivalenti della transitività topologica.
01 Nov 2021 (2h 00m)
Giulia Livieri - Didattica integrativa - In presenza
Definizione di algebra e di sigma-algebra. Definizione di misure additiva su una algebra e di misura su una sigma algebra. Definizione della più piccola sigma-algebra generata da un insieme generico. Definizione di Topologia. Esempi di misure.
01 Nov 2021 (2h 00m)
Giulia Livieri - Didattica integrativa - In presenza
Teorema delle classi di Dynkin, Teorema di Estensione della misura e Teorema di Caratheodory [esempio motivazionale: misura di Lebesgue sui rettangoli semi-aperti a sinistra].Completamento di misure. Esempi ed esercizi.
01 Nov 2021 (2h 00m)
Giulia Livieri - Didattica integrativa - In presenza
Definizione di Mappa Misurabile. Esempi di Mappe Misurabili. Definizione dell’integrale per funzioni semplici. Definizione dell’integrale per funzioni positive e proprietà. Esempi ed esercizi.
03 Nov 2021 (2h 00m)
Giulia Livieri - Didattica integrativa - In presenza
Definizione dell’integrale per funzioni reali. Teorema della misura immagine. Esercizi. Disuguaglianza di Markov, Disuguaglianza di Chebischev, Disuguaglianza di Jensen.
09 Nov 2021 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
Lezione in aula con studenti in aula e non, trasmissione mediante piattaforma Teams: Caratterizzazioni equivalenti della minimalità. Sistemi dinamici caotici secondo Devaney. Dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali. Rotazioni irrazionali, shift su successioni con m simboli (unilatere e bilatere), mappe espansive del cerchio. Distanza di Hausdorff. Sistemi di funzione iterati (IFS). Insieme di Cantor e triangolo di Sierpinski come attrattori di IFS.
10 Nov 2021 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
Lezione in aula con studenti in aula e non, trasmissione mediante piattaforma Teams: Teorema del Collage. Spazi di Hilbert. Sistemi ortonormali, basi di Hilbert, diseguaglianza di Bessel. Completezza. Serie di Fourier.
16 Nov 2021 (2h 00m)
Giulia Livieri - Didattica integrativa - In presenza
Definizione di misura prodotto o misura di Bernoulli, Lemma di Borel Cantelli, Nozione di indipendenza per classi di eventi e nozione di indipendenza tra variabili aleatorie. Definizione di sigma algebra coda. Legge 0-1 di Kolmogorov.
17 Nov 2021 (2h 00m)
Giulia Livieri - Didattica integrativa - In presenza
Esercizi su Indipendenza - Legge 0-1 di Kolmogorov - e Lemma di Borel Cantelli.
18 Nov 2021 (3h 00m)
Giulia Livieri - Didattica integrativa - In presenza
Esercizi vari
23 Nov 2021 (1h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
Lezione in aula con trasmissione su piattaforma teams: Lemma di Riemann Lebesgue. Convergenza puntuale delle serie di Fourier di funzioni di classe C1. Teorema di Fischer-Riesz.
24 Nov 2021 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
Lezione in aula con trasmissione su piattaforma teams: Regolarità di una funzione e comportamento asintotico dei coefficienti di Fourier: funzioni C infinito e funzioni analitiche. Sistemi dinamici misurabili: frequenza media delle visite. Enunciato del teorema di Birkhoff. Ergodicità. Ergodicità delle rotazioni irrazionali sulla circonferenza.
30 Nov 2021 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
Lezione con studenti in aula e non in aula, trasmessa su teams: Osservabili di un sistema dinamico misurabile. Somme di Birkhoff, medie temporali. Dimostrazione del teorema di Birkhoff. Caratterizzazioni equivalenti dell’ergodicità: indecomponibilità metrica, trivialità degli integrali primi, mescolamento in media. Sistemi dinamici mescolanti. Sistemi dinamici unicamente ergodici.
01 Dic 2021 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
lezione con studenti in aula e non in aula, trasmessa su teams: Teorema di rappresentazione di Riesz. Teorema di Krylov-Bogoliubov. Teorema di ricorrenza di Poincaré. Tempo di ritorno e di primo ingresso. Lemma di Kac. Operatore di Perron Frobenius. Mappe monotone a tratti dell’intervallo.
07 Dic 2021 (1h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
lezione con studenti in aula e non in aula, trasmessa su teams: Schemi di Bernoulli: invarianza della misura, mescolamento forte. Sistemi di funzione iterati random (cenni). Skew-products.
14 Dic 2021 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
lezione con studenti in aula e non in aula, trasmessa su Teams: definizione di informazione di una variabile aleatoria. Entropia di Shannon. Codici prefissi. Proprietà dell’entropia. Variabili aleatorie prodotto. Entropia condizionale. Entropia congiunta. Regola della catena. Enunciato del teorema di unicità dell’entropia.
15 Dic 2021 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
lezione con studenti in aula e connessi da remoto, trasmessa su Teams: Dimostrazione dell’unicità dell’entropia. Entropia relativa (Kullback-Leibler). Diseguaglianza di Jensen. Diseguaglianza log-sum. Positività dell’entropia relativa. Informazione mutua. Convessità dell’entropia e dell’entropia relativa.
11 Gen 2022 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
lezione in aula con studenti presenti in aula e altri collegati su Teams: Convergenza di variabili aleatorie. Legge dei grandi numeri. Proprietà di equipartizione asintotica. Insieme tipico. Proprietà dell’insieme tipico. Costruzione di una codifica ottimale usando l’insieme tipico: entropia di Shannon come tasso di compressione.
12 Gen 2022 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
lezione in aula con studenti presenti e altri collegati su Teams: Processi stocastici stazionari. Catene di Markov. Irriducibilità. Aperiodicità. Convergenza. Grafi e matrici di adiacenza. Matrici stocastiche. Tasso di entropia. Teorema di Shannon-Breiman-McMillan. Codifica di una sorgente. Codici non singolari, estensione di un codice, codici istantaneamente decodificabili.
18 Gen 2022 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
lezione con studenti in aula e connessi da remoto, trasmessa su Teams: camminate aleatorie su grafi. Enunciato del teorema di Perron-Frobenius per matrici irriducibili. Comportamento asintotico delle potenze di una matrice primitiva. Algoritmo Page Rank di Google. Applicazioni del Page Rank.
19 Gen 2022 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
Lezione con studenti in aula e che seguono da remoto su Teams: Diseguaglianza di Kraft. Dimostrazione della diseguaglianza di Kraft. Diseguaglianza di Kraft estesa. Codici ottimali. Lunghezza attesa di un codice ottimale e tasso di entropia di un processo stocastico stazionario. Codifica di Shannon.
25 Gen 2022 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
lezione in aula trasmessa su teams: Codifica di Huffman. Codici alfabetici. Ottimalità della codifica di Huffman. Compressione dati. Compressione frattale. Formula di Ornstein-Weiss. Algoritmo di Lempel-Ziv e tasso di entropia. Modelli di Markov della lingua inglese. L’esperimento di Shannon per stimare il tasso di entropia della lingua inglese.
26 Gen 2022 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
lezione in aula trasmessa su teams: Valore di una scommessa. Paradosso di San Pietroburgo, utilità logaritmica. Cenno alla teoria di Kahneman-Tversky. Criterio di Kelly per scommesse binarie. Corse di cavalli. Tasso di raddoppiamento del capitale e entropia relativa. Informazioni riservate e informazione mutua. Ancora sull’esperimento di Shannon per stimare l’entropia della lingua inglese.
01 Feb 2022 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
lezione in aula con studenti presenti e collegati da remoto su Teams: Partizioni modulo 0. Entropia di una partizione. Lemma di Fekete. Definizione di entropia di Kolmogorov-Sinai. Calcolo dell’entropia di Kolmogorov-Sinai per gli schemi di Bernoulli. Insiemi (s,epsilon) spanning e separati. Definizione di entropia topologica (con gli insiemi spanning, con gli insiemi separati, con i ricoprimenti).
02 Feb 2022 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
Lezione in aula trasmessa su Teams: Equivalenza delle definizioni di entropia topologica. Indipendenza dell’entropia topologica dalla metrica e invarianza per coniugazione topologica. Catene di Markov topologiche. Catene di Markov misurabili.
08 Feb 2022 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - In presenza
correzione della prima prova scritta
09 Feb 2022 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
lezione in aula con studenti presenti e collegati su teams: Predizione e entropia della lingua inglese. Ridondanza. Stime della distanza di Kullback-Leibler mediante la compressione dati. Ricostruzione mediante la teoria dell’informazione dell’albero delle lingue. Scommesse e compressione dati. Metodologie di stima dell’entropia della lingua inglese: approccio di Shannon e approccio di Cover (applicazione della regola di Kelly).
16 Mar 2022 (2h 00m)
Stefano Marmi - Corso (attività didattica) - Mista
correzione della seconda prova scritta
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