Funzioni ellittiche e modulari
Prerequisiti
The prerequisites for this course are modest: masic complex analysis in one variable, basic algebra.Some notions of Algebraic Gometry will be given during the course.Therefore the course is accessible to students from the III year onwards.
Programma
- Generalita' sul soggetto. Superfici di Riemann-Funzioni meromorfe doppiamente periodiche; Teoremi di Liouville; funzione di Weierstrass; teorema di addizione.
- Funzioni ellittiche e curve ellittiche complesse; classi di isomorfismo; endomorfismi e automorfismi; punti di ordine finito. Isogenie. Moltiplicazione complessa.
- Il gruppo modulare: dominio fondamentale, generazione.- Funzioni e forme modulari; serie di Eisenstein; la forma modulare $ Delta$ e le curve ellittiche; spazi ed algebre di forme modulari di peso assegnato.
- L'invariante modulare j. Invarianti singolari e valori speciali; equazione modulare.
- Sviluppi di Fourier; ordine di grandezza dei coefficienti di Fourier di una forma modulare.
Obiettivi formativi
The topic of elliptic and modular functions has a major historical importance, is linked with many other central mathematical topics, and is also nowadays of the maximum attraction for researchers in many areas. Therefore it is fundamental that every mathematician has at least a basic background knowledge, and to furnish this knowedge is the main object of the course.
Riferimenti bibliografici
For general basic theory of Riemann Surfaces: the first chapters of Milnor's "dynamics in one complex variable" are perfect.For elliptic functions: Lang's "Elliptic Functions" is perfect.Other suitable books are Silverman's "The arithmetic of elliptic curves", especially the appendix on algebraic geometryFurther bibliography will be suggested during the course