Funzioni ellittiche e modulari
Prerequisiti
Si richiede la conoscenza dell'analisi complessa elementare e topologia elementare.
Il corso e' adatto agli studenti del III anno, ma e' assolutamente accessibile (almeno in gran parte) a studenti interessati del II anno, e utile presumibilmente anche a studenti piu' anziani e perfezionandi interessati.
Programma
FUNZIONI ELLITTICHE E MODULARI
- Funzioni meromorfe doppiamente periodiche; Teoremi di Liouville; funzione di Weierstrass; teorema di addizione.
- Funzioni ellittiche e curve ellittiche complesse; classi di isomorfismo; endomorfismi e automorfismi; punti di ordine finito. Isogenie. Moltiplicazione complessa.
- Il gruppo modulare: dominio fondamentale, generazione.
- Funzioni e forme modulari; serie di Eisenstein; la forma modulare Delta e le curve ellittiche; spazi ed algebre di forme modulari di peso assegnato.
- L'invariante modulare j. Invarianti singolari e valori speciali; equazione modulare.
- Sviluppi di Fourier; ordine di grandezza dei coefficienti di Fourier di una forma modulare.
- Funzioni zeta. sigma, ed espansioni in prodotto infinito. Funzioni theta.
- Operatori di Hecke, prodotto scalare di Petersson, autofunzioni.
- Cenni su sottogruppi di congruenza del gruppo modulare; il problema dei sottogruppi di congruenza.
- Forme modulari con livello. Applicazioni aritmetiche a problemi additivi.
Obiettivi formativi
Il corso contiene materiale basilare che origina da svariate teorie: vi sono elementi di analisi complessa, geometria algebrica ed algebra. Costituisce una introduzione alla teoria delle funzioni ellittiche e modulari, contribuendo alla cultura generale di ogni studente in matematica e che permette poi agli interessati di entrare in approfondimenti nelle direzioni desiderate.
Riferimenti bibliografici
J-P. Serre, Cours d'arithmetique
S. Lang, Elliptic functions
ukteriori riferimenti bibliografici saranno jndicati durante lo svolgimento del corso